资料简介
第27章 圆
27.1 圆的认识
第1课时
问题引入
一石激起千层浪 奥运五环
大家见过这些吗？知道
它是什么图形吗？
回顾思考
据统计，某个学校的同学上学方式是，有
的同学步行上学，有 的同学坐公
共汽车上学，其他方式上学的同学有 ，请
你用扇形统计图反映这个学校学生的上学
方式.
我们是用圆规画出一个圆，再将
圆划分成一个个扇形，如右图
27.1.1就是反映学校学生上学
方式的扇子形统计图。
圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何
形成的.如图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转
一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形.
O
A
C
B
1.如图,半径有:____________ OA、OB、OC
若若∠AOC=60°∠AOC=60°，，
则则△AOC△AOC是是____等边等边______三角形三角形..
2.如图,弦有:______________AB、BC 、AC
在圆中有长度不等的弦，在圆中有长度不等的弦，直径直径是圆中是圆中最长的弦最长的弦..
●O
B
C
A
1.如图,弧有:______________⌒AB ⌒BC
⌒ABC ⌒ACB ⌒BCA 它们一样么？
⌒AB ⌒BC2 .劣弧有：
优弧有： ⌒ACB ⌒BAC
你知道优弧与劣弧的区别么？
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
探索与实践
如图，在⊙O中，AC=BD，
,求∠2的度数。
你会做吗？
解：∵ AC=BD （已知）
∴
∴ AB=CD
∴
AC-BC=BD-BC （等式的性质）
∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧
所对的圆心角相等）
课堂练习
1、直径是弦吗？弦是直径吗？
2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等
需要什么条件呢？
4、比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆
的半径的大小关系，再用圆规验证你的结
论是否正确.
5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧.
6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
●
C
B
A
D
O
思考:在⊙O中,AB、CD是直径.AD
与BC平行吗?说说你的理由.四边形
ACBD是矩形么?为什么?
温馨提示：
对角线相等且互相平分的四
边形是矩形.
思思 考考
小结 今天你学到了什么？
1.在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么
它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对的弦的弦心
距也相等.
（或等圆）
（或等圆）2.在同一个圆 中，如果弧相等，那么所
对的圆心角_____、所对的弦______， 所对的弦
的弦心距_____.
相等
3.在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对
的圆心角_____、所对的弧______,所对的弦的弦心
距_____.
相等
（或等圆）
相等
相等
相等
相等
第2课时
情境导入
同学们自己动手画两个等圆，并把其中一个圆剪下，
让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，
可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一
条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会
完全重合.
由以上实验，同学们发现圆是中
心对称图形吗？对称中心是哪一
点？圆不仅是中心对称圆形，而
且还是轴对称图形，过圆心的每
一条直线都是圆的对称轴。
实践与探索
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对
的弦相等.
实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕
点O逆时针旋转某个角度，得到图
27.1.4中的图形，同学们可以通过比
较前后两个图形，发现
实质上， 确
定了扇形AOB的大小，所以 在同一个圆中，
如果圆心角相等，那么它所对的弧
相等，所对的弦相等.
实践与探索
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，
所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那
么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
例1 如图27.1.5，在⊙O中，弧AC=弧BD
，求 的度数.
解：因为弧AC=弧BD，
所以弧AC-弧BC=弧BD-弧BC.
所以弧AB=弧CD.
所以 （在同一个圆中，
如果弧相等，
那么它们所对的圆心角相等）
探索新知
我们知道
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所
在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如
图27.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4
等分、8等分.
试一试
如图,如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径
CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD
对折，比较AP与PB、弧DB 与 弧CB ，你能
发现什么结论？你的结论是：______________
____________
这就是我们这节课要研究的问题.
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧.
探索新知
类似上面的证明，我们还可以得到
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条线，并且平
分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条
弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦
所对的另一条弧;
(4)平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦.
推论
尝试运用
例1、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆,
大圆的弦AB交小圆于点C、D
（1）试说明线段AC与BD的大小关系;
（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积.
尝试运用
例2、在直径为10的圆柱形油桶内装入
一些油后，截面如图，如果油面宽
AB=8，那么油的最大深度是 .
垂径定理及其推论1的实质是把
(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB;
(3)直线MN平分AB;
(4)直线MN平分弧AMB;
(5)直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种
组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六
种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们
课下不妨试一试.
回味引伸
小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称
图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性
又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，
相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等.（2）
在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心
角，所对的弦相等.（3）在同一个圆中，如果弦
相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等.
第3课时
问题情境
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有
什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆
相交的角叫做圆心角），今天我们要学习
圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆
周角.
实践与探索
1.圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就
叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都
不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一
个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交
的角叫做圆周角）
练习：试找出图中所有相等的圆周角.
2.圆周角的度数
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而
的圆周角所对的弦是否是直径?
数学理论
如图27.1.9，线段AB是⊙O的直径，
点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那 么，∠ACB就是直径AB所对的
圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样
的角？为什么呢？
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是
等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ ＝90°.因此，不管点C
在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°.
数学运用
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的
圆周角所对的弦是圆的直径
3.同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
(1)分别量一量图27.1.10中弧AB所
对的两个圆周角的度数比较一下. 再
变动点C在圆周上的位置，看看圆周
角的度数有没有变化. 你发现其中有
什么规律吗？
数学运用
(2)分别量出图27.1.10中弧AB所对的圆周角和
圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的
度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。由上述操
作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周
角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。为了验证这
个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆
心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：
a 折痕是圆周角的一条边，
b 折痕在圆周角的内部，
c 折痕在圆周角的外部.
1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
●O ●O
C
A
B D
B
A C
D
E
●OA B
C
(1) (2)
(3)
课堂练习
（3）圆心在 外部（略）
由此我们可以得到：
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆
周角所对的弧相等.
由圆周角定理，我们可以得到以下推论
推论1 90度的圆周角所对的弦是直径 （如图
27.1.12）
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫
做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的
内接多边形.对于圆内接四边形，有另一个推论：
推论2 圆内接四边形的对角互补（如图27.1.13）
思考 图27.1.14是一个圆形零件，你能找到它的
圆心值吗？你有什么简捷的办法？
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