资料简介
圆的方程
第四章
4.2 直线、圆的位置关系
第四章
4.2.3 直线与圆的方程的应用
高 效 课 堂2 课后强化作业4
优 效 预 习1 当 堂 检 测3
优 效 预 习
解决实际问题的基本步骤如下：
(1)阅读理解，认真审题．
做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际
背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中
的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析出已
知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关系．审
题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问题的转化
．
●知识衔接
(2)引进数学符号，建立数学模型．
根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相
关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实
现问题的数学化，即建立数学模型．如果题目已经告知曲线是
圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为求解方
程或计算作准备．
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)
予以解答，求得结果．
(4)翻译成具体问题．
直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的步骤：
第一步：建立适当的________________，用__________
和__________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
__________问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“_________”成几何结论．
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简
称为“一建二算三译”．
平面直角坐标系 坐标
方程
代数
翻译
●自主预习
1．某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的
方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随着建立的直角坐标系的变化而变化
[答案] D
●预习自测
2．证明在圆中直径所对的圆周角为直角．
高 效 课 堂
如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|
＝100 cm，|BC|＝80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这
块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问
怎样截才能使矩形的面积最大？
直线方程的应用
●互动探究
规律总结：(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程
等解析工具解决实际问题．
某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长
方形地面(不必变方位)进行开发．问如何设计才能使开发面积
最大？并求出最大面积．
[分析] 建立坐标系求解．
[点评] 这是一道用地规划问题，具有很强的应用价值
与现实意义，将问题化归为在线段AB上找一点，使长方形面积
最大的数学问题，这里求线段AB所在直线方程、设点P坐标是
解题的切入点．
如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶
离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
圆的方程的应用
[解析] 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直
线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，
规律总结：(1)应用解析法研究与平面图形有关的实
际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实
际应用问题时，有着广泛的应用．
(2)解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决
会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体味．
如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度
AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，
求支柱CD的长度．(精确到0.01 m)
[分析] 先求出圆的标准方程，再求C点的纵坐标即可
．
如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆
心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，
F.求证：EF平分CD．
[探究] 建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公
共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可．
用坐标法证明几何问题
规律总结：坐标法解决几何问题，要先建立适当的
坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、
圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得
到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当
的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：
①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y
轴；
②充分利用图形的对称性；
③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；
④关键点的坐标易于求得．
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到
一边的距离等于该边所对边长的一半．
[分析] 如图所示，选择互相垂直的两条对角线所在的
直线为坐标轴，本题关键是求出圆心O′的坐标，过O′作AC的垂
线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O′的横坐标
一致，同理可求O′的纵坐标．
代数式的几何意义与数形结合法
●探索延拓
若x、y满足(x－2)2＋y2＝3，那么①x＋y的取值范围是
__________；②(x＋2)2＋(y＋2)2的取值范围是________.
[错解] 选A或选C
易错点 利用数形结合的解题误区
●误区警示
[答案] A
[解析] 两边平方整理得：(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，由|x|
－1≥0得x≥1或x≤－1，所以(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)或(x＋1)2＋
(y－1)2＝1(x≤－1)，所以为两个半圆，故选A．
当 堂 检 测
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方
程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
[答案] D
[解析] 在不同坐标系下，方程也不同．
[答案] D
3．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B
＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(
)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[分析] 由于隧道的截面是半圆，故可考虑建立平面直
角坐标系，利用坐标法解决．
[归纳总结] 这是一个实际问题，解决这一问题的关键
是把它转化为数学问题，通过建立平面直角坐标系求半圆方程，
进而使问题得以解决．
5．如图，直角△ABC的斜边长为定值4，以斜边的中点
O为圆心作半径为3的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．
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