资料简介
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
情境引入
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，
使得这两部分的比是2:3？
将 向下平移到如图的位置，直线m,n与 的交点分别为
， ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试.如果将
平移到其他位置呢？
a
b
c
A
B
C
D
E
F
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
3 4
x 7
已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度
如图，你能求出x的值吗?
解：由已知条件可得：
如图4-8，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，
B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于
点C2，C3.图4-9中有哪些成比例线段？
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的
对应线段成比例.
A
B C
D E
∵DE∥A
B
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC.
（1）如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
A
B C
E F
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两
部分，使这两部分之比是2:3?
AA
BB
CC
EE
DD
FF
相似三角形的相关概念
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫
做相似三角形(similar trianglec).
相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例.
相似比等于1的两个三角形全等.
注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正
确解答的前提和关键.
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法:
两角对应相等的两个三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
类比三角形全等的判定方法:
边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS)；边边边
(SSS)；斜边直角边(HL).
你还能得出判定三角形相似的其他方法吗?
相似与全等类比—新化旧
由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的
两个三角形相似；
由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似；
由边角边(SAS)可猜想:
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似；
由斜边直角边(HL)可猜想:
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？
问题三:
如果△ABC与△A′B′C′有一个
角相等,且两边对应成比例,那
么它们一定相似吗?
(1)如果这个角是这两边的夹角,
那么它们一定相似吗?
我们一起来动手:
画 △ABC与 △A′B′C′使
∠A=∠A′,
• 设法比较∠B 与∠B′的大
小,∠C与∠C′的大小.
• △ABC与△A′B′C′相似吗
?说说你的理由.
• 改变k值的大小(如1∶3),再
试一试.
• 通过上面的活动,你猜出了
什么结论?
判定三角形相似的方法
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图,在△ ABC与△A′B′C′中,如果
那么△ ABC∽△A′B′C′.
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
C
BA A ′ B ′
C′
这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率
不是很高,务必引起重视.
且∠A=∠A′,
图中的△ABC∽△A′B′C′,你
还能用其他方法来说明
其正确性吗?
且∠A=∠A′=45o,
∴△ABC∽△A′B′C′
(两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似) .
C
BA
A ′ B ′
C′
解法2: 如图,设小正
方形的边长为1,由勾
股定理可得:
问题四:在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中,
∠C= ∠C′=900,如果有一直角边和斜
边对应成比例,那么它们一定相似
吗?
我们一起来动手:
画△ ABC与△ A′B′C′,使
设法比较∠B 与∠B′的大小
,∠A与∠A′的大小.
Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似吗
?说说你的理由.
改变k值的大小(如1∶3),再试
一试.
通过上面的活动,你猜出了
什么结论?
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果
那么△ABC∽△A′B′C′ (斜边直角边对应成比例的两
个直角三角形相似).
C B
AA′
B′C′
这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必
引起重视.
我们重新来看问题三:
如果△ABC与△DEF有一个角相
等,且两边对应成比例,那么
它们一定相似吗?
(2)如果这个角是这两边中一
条边的对角,那么它们一定相
似吗?
小明和小颖分别画出了下面的
△ABC与△DEF:
通过上面的活动,你猜出了
什么结论?
两边对应成比例,且其中一
边的对角对应相等的两个
三角形不一定相似.
A B
C
500
3.2cm
4cm
2cm
D
F
E500
1.6cm
判定三角形相似的常用方法:
两角对应相等的两个三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的各对应角相等,各对应边成比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对
应周长的比都等于相似比.
如图:
在△ ABC和△ DEF中 ，如果∠A=∠D, ∠B=∠E,
那么△ ABC∽ △DEF.
A
BC
D
EF
那么△ ABC∽ △DEF.
且∠A=∠D，那么△ ABC∽ △DEF.
通过本节课的学习,你有什么收获和体会？你
还有什么困惑？
?
本 课 小
结
27.2.2 相似三角形的性质
一、新课引入
思考：三角形中各种各样的几何量，例如三条边的长度，
三个内角的大小，高、中线、角平分线的长度以及周长、
面积等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之
间又有什么关系呢？
1
理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似
比，面积的比等于相似比的平方
能用三角形的性质解决简单的问题
2
3
二、学习目标
相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比
三、探究新知
知识点一 相似三角形的周长比
1、如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题:
(1)△ABC与△A′B′C′的对应边有什么关系？
(2)若 ,则
的比值是否等于 ,为什么？
解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 ,
∴ ，
∴ ，
∴
三、探究新知
归纳 相似三角形的周长的比等于______.
用类似的方法，还可以得出：
相似多边形的周长的比等于_______。
练一练
1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，
那么它的周长也扩大为原来的____倍。
相似比
相似比
5
三、探究新知
2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，
且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC
的周长＝_______.1︰3
三、探究新知
知识点二 相似三角形对应高的比、面积的比
1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC与
△A′B′C′的高.
（1）相似三角形的对应高的比与
相似比有什么关系? 写出推导过程.
相等
三、探究新知
解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ，∠B=∠ B′.
又∵AD⊥BC ， A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠ A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴ .
结论: 相似三角形对应高的比等于_____.相似比
（2）相似三角形对应边上的中线， 对应角的平分线
的比值与相似比有什么关系？
结论: 相似三角形对应边上的中线，对应角的平分
线的比等于______.
(3)若 = ，则 的比值与 有什么
关系？
结论:
相似三角形的面积的比等于___________.
相等
相似比
相似比的平方
用类似的方法，可以把两个相似多边形分成若干对相
似三角形，因此可以得出：相似多边形的面积的比等
于___________.
2、如图，在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12，求ΔDEF的
周长和面积.
相似比的平方
E F
DA
B C
解：∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ .
∵∠A=∠D ，
∴ΔABC∽ΔDEF.
设ΔDEF的周长为x，面积为y.
又∵ΔABC的周长是24，面积是12，
∴ ， ，
∴ x=12，y=3，
∴ΔDEF的周长是12，面积是3.
E F
DA
B C
1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm，
若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小
三角形的周长为____cm，面积为____cm2.
2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
已知△ADE和△EFC的面积分别为4
和9，求△ABC的面积.
14
F
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴ △ADE∽△EFC .
而S△ADE=4，S△EFC=9，
∴ ， ，
∴ ，
∴S△ABC= .
F
四、归纳小结
1、相似三角形周长、对应高、对应中线、
对应角平分线的比等于______.
2、相似三角形的面积的比等于 _ ________。
3、学习反思：____________________。
相似比
相似比的平方
五、强化训练
1、连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一
个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积
比等于____.
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么
它们的相似比为_______，周长的比为________.
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由
原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多
少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
解：∵比例是6∶2 = 3∶1，
∴这次复印的放缩比例是300%.
又∵面积比是9∶1，
∴这个多边形的面积扩大到原来的9倍.
4、如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，
这两个三角形相似吗？如果相似，
求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2 ）
∵ ，
∴ .
教学目标
1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．
2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度
的问题，让学生体会数学转化思想.
重点：运用相似三角形解决实际问题.
难点：在实际问题中建立数学模型.
27.2.3 相似三角形应用举例
新课引入
如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两
端，小张想测量出A，B 间的距离，但由
于受条件限制无法直接测量，你能帮他想
出一个可行的测量办法吗？
测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B
两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，
在BC的延长线上取一点E，使 （k为正整
数）.测量出 DE的长度.
然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离.
C
D
E
如果 ，且测得DE的长为50 m，则A，B两
点间的距离为多少？
∵ ，∠ACB =∠DCE，
∴ △ABC∽△DEC．
∴ ．
∵ DE = 50 m ，
∴ AB = 2DE = 100 m. C
D
E
例题探究
O A B
A′
B′
在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶
心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微
的抖动，致使准星A偏离到A′，如图.已知OA=0.2m，
OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心
点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.
解：∵ AA′∥BB′，
∴ △OAA′∽△OBB′．
∴ ．
∵ OA=0.2m，OB=50m，
AA′=0.000 5m，
∴ BB′=0.125m.
答：李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度BB′为
0.125m.
课堂练习
1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1 m，长臂长为6 m. 当
短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高多少米？
A
B
O
C
D
2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树
的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水
平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直
角边DE= 80 cm， EF=40 cm，测得AC=1.5 m，CD=8 m
，求树高AB．
课堂小结
相似三角形的应用主要有两个方面：
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
1.测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
2.测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一
时刻物高与影长成比例”的原理解决.
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