资料简介
第三十章 二次函数
30.4二次函数的应用
-2
0
2
4
6
2-4
x
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最
大值、最小值分别为 .
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大
值、最小值分别为
求函数的最值问题，应注意什么?
2、图中所示的二次函数图像的
解析式为：
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一
个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
AA
BB CC
DD EE
FFKK
某商品现在的售价为每件60元，
每星期可卖出300件，市场调查反
映：每涨价1元，每星期少卖出10
件；每降价1元，每星期可多卖出
18件，已知商品的进价为每件40元，
如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量
随之发生了变化？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨
价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,每件利润为 元，因此，所得利润
为 元.
10x (300-10x)
(60+x -40 )
y=(60+x-40)(300-10x)
即 (0≤X≤30)
(0≤X≤30)
可以看出，这个函数的图
像是一条抛物线的一部分，
这条抛物线的顶点是函数
图像的最高点，也就是说
当x取顶点坐标的横坐标
时，这个函数有最大值。
由公式可以求出顶点的横
坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的
过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出
（300+18x)件，每件利润为(60-x-40)元，因此，所得利润为:
答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
(0≤x≤20)
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一
般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在
自变量的取值范围内 。
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，
此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，
每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平
均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价
都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.
⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额
为Q元，写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利
润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
解：①由题意知:P=30+x.
②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售
额为（30+x）（1000-10x)元。
∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=
③设总利润为W=Q-30000-400x=
=
∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6 250元。
x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关
系式；（6分）
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x
（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润
为 w 元。则
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利
润为225元。
则
解得：k=－1，b＝40。
1分
5分
6分
7分
10分
12分
（1）设此一次函数解析式为 。
所以一次函数解析为 。
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
旅行社何时营业额最大
1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.
旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每
人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数
是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天
180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增
加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾
馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少
时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
y=-1/10x2+34x+8000
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件
盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商
场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫
每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少
元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
销售问题
2.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这
种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可
看成是一次函数关系：
t＝－3x＋204。
（1）写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的
销售价x（元）间的函数关系式；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天
获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最
大利润为多少？
某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。起初以
40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来，根据市
场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖
出10个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润达到
2160元？
y
xo
第二课时 用待定系数法求二次函数的表达式
解：设 y=ax2+bx+c （a≠0）
c=2
a+b+c=0
4a-2b+c=3
解得
a=-1/2
b=-3/2
c=２
∴y=-1/2 x2 - 3/2 x+2
已知一个二次函数的图象过点（0,2），（1,0），（-2,3）
三点，求这个函数的表达式.
（0,2）（1,0） （-2,3）
1.设
2.找
3.列
4.解
5.写
6.查
（三元一次方程组）
（三点）
（一般形式）
y=ax2+bx+c
（消元）
（回代)
小组讨论合作探究一般式的基本步骤.
当自变量x= 0时函数值y=-2，当自变量x= -1时，函数值y=
-1，当自变量x=1时，函数值y= 1,求这个二次函数的表达式.
解：设 y=ax2+bx+c （a≠0）
（0,-2）（-1,-1） （1,1）
c=-2
a-b+c=-1
a+b+c=3
解得 a=2，b=1，c=-２
∴y=2x2+x-2
解： 设 y=a(x＋1)2-3
已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴
交点为（-5，0）求抛物线的解析式？
y
o
x( 0,-5 )
-5=a-3
a=-2
y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
y=-2（x2 ＋ 2x ＋ 1）-3
顶点式
1.设y=a(x-h)2+k
2.找（一点）
3.列（一元一次方程）
4.解（消元）
5.写（一般形式）
6.查（回代)
一般式
1.设y=ax2+bx+c
2.找（三点）
3.列（三元一次方程组）
4.解（消元）
5.写（一般形式）
6.查（回代)
寻找规律
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？
1）顶点（1，-2） 设y= a(x )2
2) 顶点（-1，2） 设y= a(x )2
3）顶点（-1，-2） 设y= a(x )2
4）顶点 （h, k） 设y= a(x )2
-1 -2
+1 +2
+1 -2
- h + k
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平
移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表
达式。顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1
2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为
-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。顶点坐标（ 1 ，
-8 ）设y=a(x-1)2-8
3.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，
函数有最小值-4，求此表达式。顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-
1)2-4
4.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，
求函数的表达式。顶点坐标（ 4，2 ）设y=a(x-4)2+2
抛物线的图象经过（2，0)与（6，0）两点，其顶点的
纵坐标是2，求它的函数关系式
解：由题意得x=
∴顶点坐标为（4，2）
设y=a(x-4)2+2
0=4a+2
a=-1/2
∴y =- 1/2 (x-4)2+2
y =- 1/2 x2+4x-6
1
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m
，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解：由题意得 x= 40/2 =20
∴顶点坐标为（20，16）
设y=a(x-20)2+16
0=400a+16
a=- 1/25
∴y =- 1/25 (x-20)2+16
y =-1/25x2 + 8/5 x
今天我们学到了什么？
求二次函数解析式的一般方法：
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶
点式。
确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰
当地选择一种函数表达式，灵活应用。
二、求二次函数解析式的思想方法
1、求二次函数解析式的常用方法：
2、求二次函数解析式的 常用思想：
3、二次函数解析式的最终形式：
一般式
转化思想 解方程或方程组
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一
般形式。
顶点式
数形结合思想
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