资料简介
3.3 公 式 法
第2课时
【知识再现】
公式法:把乘法公式从_______到_______地使用,就可以
把某些形式的多项式进行_____________,这种________
_____的方法叫做公式法.
右 左
因式分解 因式分
解
【新知预习】阅读教材P65【动脑筋】和【例题】,
解决下面的问题,并归纳结论:
1.计算下列各题:
(1)(x+3)2=___________.
(2)(2-3a)2=_____________.
x2+6x+9
4-12a+9a2
(3)x2+6x+9= __________.
(4)4-12a+9a2= ___________
(x+3)2
(2-3a)2
2.观察上述各式和计算结果,我发现的规律是:
(1)完全平方公式可以进行逆应用,就可以把具备完全
平方式的三项式进行因式分解.
(2)完全平方公式因式分解:
①语言叙述:两个数的平方和_________(或_________)
这两个数的积的______倍,等于这两个数的_______(或
_______)的平方.
②用字母表示:a2±2ab+b2= ___________.
加上 减去
2 和
差
(a±b)2
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A. x2-xy+y2
B.2x2+4x+1
A
C.2x2+4xy+y2
D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 ________.
3.因式分解:x2-x+ .
±4
解:原式=x2-x+
= .
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、
7拓展)
【典例1】因式分解:
(1)4x2-12xy+9y2.
(2)(x-y)4-2(x-y)2+1.
(3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目(1)可直接利用完全平方公式进行因
式分解.
题目(2)注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因
式都不能再分解为止.
题目(3)要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【自主解答】(1)4x2-12xy+9y2
=(2x-3y)2.
(2)(x-y)4-2(x-y)2+1
=[(x-y)2-1]2
=(x-y+1)2(x-y-1)2.
(3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4.
【学霸提醒】
完全平方公式因式分解的方法规律
1.先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后
再根据公式因式分解.
2.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
3.对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式
分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先
提取公因式,再考虑用完全平方公式因式分解.
4.如果三项中有两项能写成两数或两式的平方,但符号
不是“+”时,可以先提取“-”,然后再用完全平方公
式因式分解.
【题组训练】
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A.4x2-4x+1 B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2 D.x2+5xy+25y2
A
★2.下列各式中,不是多项式2x2-4x+2的因式的是
( )
A.2 B.2(x-1)
C.(x-1)2 D.2(x-2)
D
★3.已知9x2-2mxy+16y2能用完全平方公式分解因式,则
m的值为_________.
★★4.多项式(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结
果是___________.
★★5.分解因式:
±12
(3b-a)2
(1)16x2y2-40xy+25.
(2)x4+16y4+8x2y2.
(3)-4m2+12mn-9n2.
(4)(a-2b)2-12(a-2b)+36.
解:(1)原式=(4xy)2-40xy+52=(4xy-5)2.
(2)原式=(x2)2+2x2·4y2+(4y2)2=(x2+4y2)2.
(3)原式=-(4m2-12mn+9n2)=-(2m-3n)2.
(4)原式=(a-2b-6)2.
知识点二 综合运用提公因式法、公式法进行因式分解
(P66例8拓展)
【典例2】(1)因式分解:a4b-6a3b+9a2b.
(2)已知a-b=5,ab=3,求代数式a3b-2a2b2+ab3的值.
【自主解答】(1)a4b-6a3b+9a2b
=a2b(a2-6a+9)
=a2b(a-3)2.
(2)a3b-2a2b2+ab3
=ab(a2-2ab+b2)
=ab(a-b)2.
把a-b=5,ab=3代入原式,得3×52=75.
【学霸提醒】
因式分解的技巧
1.首选提取公因式法:即首先观察多项式中各项有没有
公因式.若有,则先提取公因式,再考虑其他方法.
2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时,应观察各
多项式的项数.
(1)当项数为两项或可看作两项时,考虑利用平方差公
式a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)当项数为三项时,可考虑完全平方公式.
(3)当项数为四项或四项以上时,可考虑对原式进行整
理变形.
3.以上两种思路无法进行因式分解时,这时考虑展开后
分解或拆(添)项后再分解.
【题组训练】
1.把多项式ax3-2ax2+ax分解因式,结果正确的是( )
A.ax(x2-2x) B.ax2(x-2)
C.ax(x+1)(x-1) D.ax(x-1)2
D
★2.下列代数式3(x+y)3-27(x+y)因式分解的结果正确
的是 ( )
A.3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)
B.3(x+y)[(x+y)2-9]
C.3(x+y)(x+y+3)2
D.3(x+y)(x+y-3)2
A
★3.多项式m2n-mn+ n因式分解的结果为________.
★★4.若一个长方形的面积是x3+2x2+x,且一边长为x+1,
则其邻边长为________. x2+x
★★5.因式分解:
(1)9x3y3-21x3y2+12x2y2.
(2)x2(x-y)+y2(y-x).
(3)(a-b)2-4(a-b)c+4c2.
(4)(m-4)(m+1)+3m.
解:(1)原式=3x2y2(3xy-7x+4).
(2)原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)
=(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y).
(3)原式=(a-b-2c)2.
(4)原式=m2-3m-4+3m= m2-4
=(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: x2-2x+3.
【正解】原式= (x2-6x+9)
= (x-3)2.
【一题多变】
因式分解:4x2-12xy+9y2.
解:4x2-12xy+9y2
=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2
=(2x-3y)2.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)已知xy=3,x2-
2xy+4y2=10,求x-2y的值.
解:由x2-2xy+4y2=10,得
x2-4xy+4y2+2xy=10,
即(x-2y)2+2xy=10.
把xy=3代入上式,得(x-2y)2+6=10.
所以,(x-2y)2=4.
故x-2y=±2.
【变式二】(变换条件和问法)若ab= ,a+b= ,
求多项式a3b+2a2b2+ab3的值.
解:a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2.
把ab= ,a+b= 代入原式,得 × = .
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