资料简介
3.3 公 式 法
第1课时
【知识再现】
用提公因式法进行因式分解时,数字系数要取各个系数
的_______________,含有字母的幂要取相同字母的最
_______次幂.
最大公因数
低
【新知预习】阅读教材P63【动脑筋】和【例题】,解
决下面的问题,并归纳结论:
1.计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2)=________.
(2)(1+3a)(1-3a)=__________
x2-4
1-9a2.
(3)x2-4= _______________.
(4)1-9a2= _________________.
(x+2)(x-2)
(1+3a)(1-3a)
2.观察上述各式和计算结果,我发现的规律是:
(1)公式法:把乘法公式从_______到_______地使用,就可
以把某些形式的多项式进行_____________,这种______
_______的方法叫做公式法.
右 左
因式分解 因式
分解
(2)因式分解中的平方差公式
①语言叙述:两个数的平方差,等于这两个数的_______
与这两个数的_______的积.
②符号表示:a2-b2= _______________.
和
差
(a+b)(a-b)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式能用平方差公式因式分解的是 ( )
A.-x2-y2 B.(-x)2-y2
C.(-x)2+y2 D.x2+(-y)2
B
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 _________________.
3.因式分解:(a-2b)2-b2.
(n+2m)(n-2m)
解:(a-2b)2-b2
=(a-2b+b)(a-2b-b)
=(a-b)(a-3b).
知识点一 用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
(1)16- m2.
(2)81y4-16x4.
(3)4(2p+3q)2-9(3p-q)2.
【自主解答】(1)16- m2=
(2)81y4-16x4=(9y2+4x2)(9y2-4x2)
=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x).
(3)4(2p+3q)2-9(3p-q)2
=[2(2p+3q)+3(3p-q)][2(2p+3q)-3(3p-q)]
=(4p+6q+9p-3q)(4p+6q-9p+3q)
=(13p+3q)(9q-5p).
【学霸提醒】
能应用平方差公式因式分解的多项式特点
(1)等号左边:
①是二项式;
②每一项都可以表示成平方的形式;
③两项的符号相反.
(2)等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】
1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( )
A.-m2-n2 B.-16x2+y2
C.b2-a2 D.4a2-49n2
A
★2.下列各式应用平方差公式进行因式分解:
①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b);
③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- = ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
其中正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
★3.因式分解:(2a+b)2-(a+2b)2=________________.
★4.因式分解:
(1)(a+b)2-4a2.
(2)25(m+n)2-(m-n)2.
3(a+b)(a-b)
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)
=(3a+b)(b-a).
(2)原式=[5(m+n)+(m-n)][5(m+n)-m+n]
=(6m+4n)(4m+6n)=4(3m+2n)(2m+3n).
★★5.如图,从一张边长为a的正方形纸片的四个角处
各剪去一个边长为b的正方形.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果a=3.6,b=0.8,
求剩余部分的面积.
解:(1)由题意可知,剩余部分的面积为大正方形的面积
减去4个角处的小正方形的面积,即a2-4b2.
(2)当a=3.6,b=0.8时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=10.4.
知识点二 提公因式法与平方差公式的综合应用(P64例
4拓展)
【典例2】因式分解:
(1)2x-2y-x2+y2.
(2)x4(x-2y)+x2(2y-x).
【思路点拨】对于有公因式的多项式,要先提公因式,
再用平方差公式进行因式分解.
【自主解答】(1)2x-2y-x2+y2
=2(x-y)-(x+y)(x-y)
=(x-y)(2-x-y).
(2)x4(x-2y)+x2(2y-x)
=x2(x-2y)(x2-1)
=x2(x-2y)(x+1)(x-1).
【学霸提醒】
提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”.
一提:将一个多项式分解因式时,首先要观察被分解的
多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再观察另一个因式特点,进而发现其能否用公式
法继续分解;
三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
1.因式分解a2b-b3结果正确的是 ( )
A.b(a+b)(a-b) B.b(a-b)2
C.b(a2-b2) D.b(a2+b2)
★2.因式分解am2-4an2的结果为__________________.
A
a(m+2n)(m-2n)
★3.因式分解4x4-64的结果为_____________________.
★4.分解因式:
(1)a3b-4ab3.
(2)(3x+2y)2-(2x+3y)2.
4(x2+4)(x+2)(x-2)
解:(1)a3b-4ab3
=ab(a2-4b2)
=ab(a+2b)(a-2b).
(2)(3x+2y)2-(2x+3y)2
=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)
=(5x+5y)(x-y)
=5(x+y)(x-y).
★★5.若a为整数,a3-a是否一定能被6整除?为什么?
解:一定能被6整除.理由如下:
由a3-a=a(a+1)(a-1)可知,a,(a+1),(a-1)是三个连续的
整数.
所以a·(a+1)·(a-1)既能被2整除,也能被3整除,故a3-
a一定能被6整除.
【火眼金睛】
因式分解:(x-y+1)2-(x+y-3)2
【正解】原式=(x-y+1+x+y-3)(x-y+1-x-y+3)=
(2x-2)(4-2y)
=4(x-1)(2-y).
【一题多变】
已知x-y=3,y-z=3,x+z=14,求x2-z2的值.
解:因为x-z=(x-y)+(y-z)=6,
所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×6=84.
【母题变式】
【变式一】先因式分解,再求值:
其中a=- ,b=2.
解:
= =ab.
把a=- ,b=2代入原式,得- ×2=- .
【变式二】现有一列式子:①552-452;②5552-4452;
③5 5552-4 4452…则第⑧个式子的计算结果用科学记
数法可表示为 ( )
A.1.111 111 1×1016 B.1.111 111 1×1027
C.1.111 111×1056 D.1.111 111 1×1017
D
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