资料简介
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )( a-1 )=a2-a+a-12= ，
( a+2 )( a-2 )=a2-2a+2a-22= ，
( a+3 )( a-3 )=a2-3a+3a-32= ，
( a+4 )( a-4 )=a2-4a+4a-42= .
a2-12
a2-22
a2-32
a2-42
我们用多项式乘法来推导一般情况：( a+b )
( a-b )=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
思考
我们把 ( a+b )( a-b )=a2-b2.
叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的
差的积等于这两个数的平方差.
如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b
的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个
长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长
方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？
a
b （1）
a
b
a-b
（2）
讨论
图（2）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（1）中的剩
余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为
图（1）剩余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以
利用该公式进行简便计算.
【例1】运用平方差公式计算：
（1）( 2x+1 )( 2x-1 )；
（2）( x+2y )( x-2y )
解：（1）( 2x+1 )( 2x-1 )
= ( 2x )2-12
= 4x2-1.
（2）( x+2y )( x-2y )
= x2-( 2y )2
= x2-4y2.
【例2】运用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( 4a+b )( -b+4a ).
解：（1） （2）( 4a+b )( -b+4a )
= ( 4a+b )( 4a-b )
= ( 4a )2-b2
= 16a2-b2.
【例3】计算：1002×998.
解：1002×998
=( 1000+2 )( 1000-2
)
=10002-22
=999996.
运用平方差
公式可以简
化一些运算.
1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）( x-2 )( x+2 )=x2 -2；
（2）( -2x-1 )( 2x-1 )=4x2-1.
答案：（1）、（2）均不对；
（1）( x-2 )( x+2 )=x2 -4；
（2）( -2x-1 )( 2x-1 )=1-4x2.
练习
2.运用平方差公式计算：
（1）( m+2n )( m-2n )；
（2）( 3a+b )( 3a-b )；
（3）(0.5x-y)( 0.5x+y )；
（4）( -1+5a )( -1-5a ).
答案：（1）m2-4n2；
（2）9a2-b2；
（3）0.25x2-y2；
（4）1-25a2.
3.计算：
（1）202×198； （2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
通过本节课，你有什么收获
？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
我思 我进步
2.2.2 完全平方公式
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12，
( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22，
( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32，
( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42.
我们用多项式乘法来推导一般情况：
( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
思考
( a-b )2=?
把( a+b )2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看.
( a-b )2=[a+( -b )]2=a2+2a( -b )+( -b )2=a2-2ab+b2.
我们把
( a+b )2=a2+2ab+b2，( a-b )2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，
等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.
讨论
把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能
用这个图来解释完全平方公式吗？
ab
ab
a2
b2
a b
a
b由图可知，大正方形的面积为 ( a+b )2
；分割成的四块的面积和为
a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2.
由题可知，大正方形的面积与四个小
正方形的面积相等，所以有( a+b
)2=a2+2ab+b2.
讨论
【例1】运用完全平方公式计算：
（1）( 3m+n )2； （2）
解：（1）( 3m+n )2
= ( 3m )2+2·3m·n+n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）( x+2 )2=x2 +4；
（2）( -a-b )2=a2-2ab+b2.
答案：（1）、（2）均不对；
（1）( x+2 )2=x2 +4x+4；
（2）( -a-b )2=a2+2ab+b2.
练习
2.运用完全平方公式计算：
（1）( x+4 )2； （2）( 2a-3 )2；
（3）
答案：（1）x2+8x+16；（2）4a2-12a+9；
（3）
( a-b )2与( b-a )2，( a+b )2与( -a-b )2相等吗？为什么
？
相等.因为( b-a )2=[-( a-b )]2=( a-b )2，所以( a-b )2=
( b-a )2；又因为( -a-b )2=[-( a+b )]2=( a+b )2，所
以( a+b )2=( -a-b )2.
也可用完全平方公式将它们分别展开，也可得到
相等.
讨论
【例2】运用完全平方公式计算：
（1）( -x+1 )2； （2）( -2x-3 )2.
解：（1）( -x+1 )2
= ( -x )2+2( -x )·1+12
= x2-2x+1.
（2）( -2x-3 )2.
= [-( 2x+3 )]2.
= ( 2x+3 )2.
= 4x2+12x+9.
【例3】计算：
（1）( a+b )2-( a-b )2； （2）( a+b+1 )2.
解：（1）( a+b )2-( a-b )2
= a2+2ab+b2-( a2-2ab+b2 )
= 4ab.
（2）( a+b+1 )2
= ( a+b )2+2( a+b )+1
= a2+2ab+b2+2a+2b+1.
【例4】计算：
（1）1042； （2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2
= 1002+2×100×4+42
= 10000+800+16
= 10816.
（2）1982=( 200-2 )2
= 2002-2×200×2+22
= 40000-800+16
= 39204.
1.运用完全平方公式计算：
（1）( -2a+3 )2； （2）( -3x+0.5 )2；
（3）( -x2-4y )2； （4）( 1-2b )2.
答案：（1）4a2-12a+9；
（2）9x2-3b+0.25；
（3）x4+8x2y+16y2；
（4）1-4b+4b2.
练习
2.计算：
（1）( x+2y )2-( x-2y )2； （2）( a-b+1 )2.
答案：（1）8xy；
（2）a2-2ab+b2+2a-2b+1.
3.计算：
（1）1032； （2）2972.
答案：（1）10609；（2）88209.
通过本节课，你有什么收获
？
你还存在哪些疑问，和同伴
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2.2.3 运用乘法公式进行计算
（1）( x+1 )( x2+1 )( x-1 )=？
（2）(x+y+1)( x+y-1 )=?
思考
对于问题（1），如果直接按从左至右的运算顺序
进行计算，计算过程很繁琐而且容易出错.通过观
察，发现( x+1 )与( x-1 )可以凑成平方差公式，然
后再与( x2+1 )相乘可以化简运算.
( x+1 )( x2+1 )( x-1 )
=( x+1 )( x-1 )( x2+1 ) （交换律）
=( x2-1 )( x2+1 )
=x4-1.
对于问题（2），通过观察，发现可以把x+y看作
一个整体，这样就可以用平方差公式来计算.
(x+y+1)( x+y-1 )
=[( x+y )+1][( x+y )-1]
=( x+y )2-1
=x2+2xy+y2-1.
遇到多项式的乘法时，我们要首先
观察式子的特征，看能否运用乘法
公式，以达到简化运算的目的.
【例1】运用乘法公式计算：
（1）[( a+3 )( a-3 )]2；
（2）( a-b+c )( a+b-c ).
解：（1）[( a+3 )( a-3 )]2
= ( a2-9 )2
= ( a2 )2-2a2·9+92
= a4-18a2+81.
（2）( a-b+c )( a+b-c )
= [a-( b-c )][a+( b-c )]
= a2-(b-c)2
= a2-( b2-2bc+c2 )
= a2-b2+2bc-c2.
【例2】一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还
多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2，求
这个正方形花圃原来的边长.
解：设正方形花圃原来的边长为xm.
由数量关系，得 ( 2x+1 )2=4x2+21，
化简，得 4x2+4x+1=4x2+21，
即 4x=20，
解得 x=5.
答：这个正方形花圃原来的边长为5m.
1.运用乘法公式计算：
（1）( x-2 )( x+2 )( x2+4 )；
（2）( a+2b-1 )( a+2b+1 )；
（3）( 2m+n-1 )( 2m-n+1 )；
（4）( x+1 )2( x-1 )2.
答案：（1）x4-16； （2）a2+4ab+4b2-1；
（3）4m2-n2+2n-1； （4）x4-2x2+1.
练习
2.计算：( a-b-c )2.
答案：a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.
3.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加
16cm2，求这个正方形原来的边长.
答案：5cm.
通过本节课，你有什么收获
？
你还存在哪些疑问，和同伴
交流。
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