资料简介
1.圆的标准方程和一般方程
2.直线与圆的位置关系
3.圆与圆的位置关系
4.直线与圆的方程应用
5.空间直角坐标系
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圆的标准方程和一般方程
（1）圆的标准方程：以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程
（2）圆的一般方程：
特殊的圆
圆过原点：
圆与x轴相切：
圆与y轴相切：
x2+y2+Dx+Ey=0
(x-a)2+(y-b)2=|b|2
(x-a)2+(y-b)2=|a|2
(x-a)2+(y-b)2=r2
a2+b2=r2
r=|b|
r=|a|
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题型一
1、已知点A（-4，-5）、B（6，-1）求以线
段AB为直径的圆的方程。
3、求经过两点A（-1，4）、B（3，2）
且圆心在y轴上的圆的方程。
2、已知圆过O（0，0）、A（2，0）
B（0，-4）三点，求圆的方程。
方法：待定系数法，可从几何或代数角度考虑。
点与圆的位置关系
点在圆上：
点在圆内：
点在圆外：
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直线与圆的位置关系
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（1）位置关系的判定
（2）弦长公式
（3）切线方程
直线与圆相离
圆与直线相离，常
利用圆心到直线的
距离d去确定圆上
的点到直线距离的
最大值(d+r)、最
小值(d-r)
l
o
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5、求圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线 x-y-5=0
所得弦长？
6、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1
所引的切线方程？
4、直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没
有公共点，求a的取值范围
题型二
圆与圆的位置关系
（1）位置关系的判定
比较圆心距与R+r以及R-r的关系（R＞r）
（2）最值问题
数形结合
注：抓住圆的特征，注意垂直关系等的应用。
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两圆公共弦方程
公共弦方程
x
y
o
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过直线与圆的交点的圆的方程：
圆系方程
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圆系方程
过两圆的交点的圆的方程：
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７、圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0
的位置关系是（ ）
Ａ 相离 B 外切 C 内切 D 相交
８、如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0求
(x-2)2+(y-2)2的最大值和最小值
９、求圆心在直线4x+y=0且与直线
x+y-1=0切于点Ｐ(3,-2)的圆的方程。
题型三
4.求轨迹方程
１、建立恰当的坐标系
２、寻找等量关系，几何条件
３、将找到的等价关系转变为代数表达式
４、化简得到轨迹方程
５、检查是否有空缺的不满足条件的点，若
有则需挖去
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10、过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹
方程.
题型四
[典型练习]
求下列圆的方程
⑴与y轴相切，被直线y=x截得的弦长为
，圆心在x-3y=0上
⑵经过P(-2,4),Q(3,-1)两点，并且在x轴上截
得的弦长等于6
⑶圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆C1: x2+y2-
4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点
⑷过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆
⑸与x轴相切于点A(3,0),并且在y轴上截得的
弦长为6
⑹过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交
点且过点(1,2)的圆的方程
O/
O
C
B
y
x
⑴与y轴相切，被直线y=x截得的弦长为 ，圆心在x-3y=0上
解:⑴∵圆心在x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心
O′(3a,a)，
∵圆O′到直线y=x的距离 ,设C为弦中
点RtΔO′BC中,
∵ ∴a=±1
∴圆心O′(3,1)或
O′(-3,-1) r=3
∴所求圆的方程为
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
⑵设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心
半径 ,由题意:
即D2-4F=36 (1) 又∵P(-2,4),Q(3,-1)在圆上
∴2D-4E-F=0(2)
3D-E+F=-10(3) 由⑴、(2) 、(3)联立得
D=-2 D=-6
E=-4 或 E=8
F=-8 F=0
∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
⑵经过P(-2,4),Q(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6
⑶设所求圆的方程为x2+y2-4x-3+λ(x2+y2
-4x-3)=0
(1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy-3(1+λ)=0(λ≠-1)
①
∴圆心 ∵圆心在直线x-y-4=0上
∴ ∴ 代入①式得
所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0
⑶圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆C1: x2+y2-4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点
⑷设所求圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 由已知
4+4+2D+2E+F=0 D=-6
25+9+5D+3E+F=0 ∴ E=2
9+1+3D-E+F=0 F=-3
∴所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0
⑷过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆
⑸设圆心(3,b),则圆的方程为:
(x-3)2+(y-b)2=b2
由b2=32+32=18
∴
⑸与x轴相切于点A(3,0),并且在y轴上截得的弦长为6
⑹设所求圆的方程为:
(x-2)2+(y+1)2-4+λ(3x+4y-7)=0
将(1,2)代入得
∴所求圆的方程为
⑹过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点(1,2)的圆方程
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