资料简介
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.3 19.3.3 正方形正方形
第第11课时课时
基础自主学习
► 学习目标1 能根据正方形的定义或性质进行简单
的计算
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
B
3. 正方形
2．如图19－3－13，正方形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，则图中的等腰三角形有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
C
3. 正方形
3．已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD
的周长为________．4
3. 正方形
[归纳] (1)定义：有一个角是_________，且有一组邻边
_________的平行四边形叫做正方形．
(2)性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，
更是特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、
平行四边形的所有性质．
性质1：正方形的四条边都_________，四个角都是
________；
性质2：正方形的对角线________________________．
直角
相等
相等
直角
相等且互相垂直平分
3. 正方形
► 学习目标2 能根据正方形的定义或判定方法来判定
四边形是不是正方形
4．下列命题，正确的是( )
A．四条边都相等的四边形是正方形
B．四个角都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
D
3. 正方形
5．如图19－3－14，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°
， AB＝ AC， AD⊥BC， AE是 △ABC的 外 角 平 分 线 ，
CE⊥AE于点E，试判断四边形ADCE是什么特殊四边形，
并证明你的结论．
3. 正方形
3. 正方形
[归纳] 证明一个四边形是正方形，主要是根据定义．
也可以先证明四边形是矩形，再证明它是菱形；或先证
明它是菱形，再证明它是矩形，其基本思路：四边形→
平行四边形→矩形(菱形)→菱形(矩形)．
重难互动探究
3. 正方形
探究问题一 利用正方形的性质进行计算
①②④
3. 正方形
3. 正方形
3. 正方形
[归纳总结] 1.正方形的两条对角线将正方形分成四个全
等的等腰直角三角形．
2．正方形的周长等于边长的4倍，面积等于边长的平
方或对角线平方的一半．
3．在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的
边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相
等的性质，还应记住：正方形的性质、等腰直角三角形
的特点、勾股定理是解决有关正方形问题的三把钥匙．
探究问题二 利用正方形的性质进行证明
3. 正方形
例2 如图19－3－16所示，以锐角三角形ABC的边AB，
AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EC，
BG.
求证：(1)BG＝CE；
(2)BG⊥CE.
3. 正方形
[解析] 设CE交AB于P，交BG于Q.欲证BG＝CE，可
证△AEC≌△ABG(SAS)，则∠AEC＝∠ABG.而
∠AEC＋∠APE＝90°，可得∠ABG＋∠BPQ＝90°
，故∠BQP＝90°，即BG⊥CE.
3. 正方形
证明： 设CE交AB于P，交BG于Q.
(1)∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，
∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAG.
∴△EAC≌△BAG(SAS)，∴BG＝CE.
(2)由(1)可知△EAC≌△BAG，则∠AEC＝∠ABG.
又∵∠AEC＋∠APE＝90°，
∴∠ABG＋∠BPQ＝90°，
∴∠BQP＝90°，即BG⊥CE.
3. 正方形
[归纳总结] 通过证明三角形全等得到边和角相等，
是有关四边形中证明边或角相等的最常用的方法，
而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明全
等三角形提供了条件．
探究问题三 灵活证明四边形是不是正方形
3. 正方形
例3 如图19－3－17所示，在△ABC中，∠BAC＝90°
，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF分别交AB
，AD，AC于点E，O，F.
求证：四边形AEDF是正方形．
[解析]本例可先证四边形AEDF为矩
形，再证它是菱形，或先证它是菱形，
再证它是矩形．
3. 正方形
证明： 证法一：∵EF垂直平分AD，
∴AE＝ED，AF＝DF，
∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF.
又∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°，
∴∠EDF＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF为矩形．
又∵AE＝ED，
∴矩形AEDF为正方形．
3. 正方形
证法二：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.
又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF.
又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)，
∴AE＝AF.
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝ED，AF＝DF，
∴AE＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AEDF为菱形．
又∵∠BAC＝90°，
∴菱形AEDF为正方形．
3. 正方形
[归纳总结] 1.正方形的判定方法有：(1)有一个角是
直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是
正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线
互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直且相
等的平行四边形是正方形；(6)对角线互相垂直平分
且相等的四边形是正方形．
2．应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先
分清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形
是四边形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种，
再选择相应的方法判定．
课 堂 小 结
3. 正方形
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.3 19.3.3 正方形正方形
第第22课时课时
操 作
⒈怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？
⒉怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？
矩形
菱形
正方形
平行四边形
矩形 菱形
正
方
形
讨 论
㈠正方形的边、角、对角线各具有什么性质？
边：对边平行，四条边都相等．
角：四个角都相等，都等于90°．
对角线：相等、垂直且互相平分．
讨 论
㈡具备什么条件的平行四边形是正方形？
⒈先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．
⒉先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想
AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
G
F
E
DA
B C
一展身手
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边
形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是
CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证： DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？试
证明你的结论．
3.如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和
ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
H
M
E
D
F
G
B C
A
4.求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形
．
教学反思
▲正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形
？
★从角上来谈；
●从边上来谈；
▲从对角线上来谈.
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