资料简介
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.2 19.3.2 菱形（第菱形（第11课时）课时）
基础自主学习
► 学习目标1 能根据菱形的定义识别菱形
1．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.当AB＝
___________时，四边形ABCD是菱形．AD或BC
[归纳] (1)定义：___________________的平行四边形
叫做菱形．
(2)菱形是平行四边形，反过来，平行四边形
_________是菱形．
有一组邻边相等
不一定
► 学习目标2 能利用菱形的性质1进行简单的计算
2．若一个菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为
( )
A．20 cm B．18 cm
C．16 cm D．12 cm
C
[归纳] 菱形的性质1：菱形的四条边__________． 都相等
► 学习目标3 能利用菱形的性质2进行简单的计算
3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
4．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长
为________．
A
[归纳]菱形的性质2：菱形的对角线____________．互相垂直
20
重难互动探究
探究问题一 利用菱形的性质进行计算
例1 如图19－3－7所示，菱形ABCD的周长为20 cm，
∠DAB∶∠ABC＝1∶2，求对角线AC，BD的长．
第1课时 菱形的性质
[归纳总结] 1.菱形具有三个方面的性质：
(1)边：四条边都相等，对边平行且相等；(2)对角线：
对角线互相垂直且平分；(3)对称性：菱形是轴对称
图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴．
2．菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．
3．菱形的面积既可用平行四边形的面积公式来求，
也可以用两条对角线乘积的一半来计算．
探究问题二 利用菱形的性质进行证明
例2 如图19－3－8，四边形ABCD是菱形，对角线AC
，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：
∠DHO＝∠DCO.
第1课时 菱形的性质
[解析] 根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可
得OH＝OB，然后根据等边对等角得∠OHB＝
∠OBH.根据两直线平行，内错角相等得∠OBH＝
∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
第1课时 菱形的性质
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，∴OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC.
∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
第1课时 菱形的性质
[归纳总结] 1.由于菱形的性质较多，在利用菱形的性
质进行计算或证明时，应全面把握和充分利用边相
等和对角线垂直的性质，同时还应注意，菱形具有
平行四边形的所有性质．
2．菱形问题通常通过对角线转化为三角形问题来解
决，菱形的性质为利用等腰三角形和直角三角形的
性质解题创造了条件．
课 堂 小 结
第1课时 菱形的性质
[反思]如图19－3－9，四边形ABCD是菱形，E为边AB上
一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF＋BF的最小值
等于DE的长．
[解析] 要证明EF＋BF的最小值是DE的长，可以通过连
接菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到
DF＝BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题
．
第1课时 菱形的性质
证明：连接BD，DF.
∵AC，BD是菱形的对角线，
∴AC垂直且平分BD，
∴BF＝DF，∴EF＋BF＝EF＋DF≥DE.
当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立
．
∴EF＋BF的最小值恰好等于DE的长．
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.2 19.3.2 菱形（第菱形（第22课时）课时）
基础自主学习
► 学习目标 1 会利用菱形的定义进行判定四边形
是不是菱形
1．如图19－3－67，若要使▱ABCD成为菱形，则需要
添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
[归纳] 定义：有一组邻边相等的____________
形是菱形．
平行四边
C
► 学习目标 2 会利用菱形的判定定理1判定四边形是不
是菱形
2．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹
如图19－3－11所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是
( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
[归纳] 判定定理1：四边都________的四边形是菱形；相等
B
► 学习目标 3 利用菱形的判定定理2判定四边形是
不是菱形
判定定理2：对角线____________的平行四边形是菱形．互相垂直
探究问题 利用判定定理证明四边形是菱形
例2 如图19－3－12所示，已知▱ABCD的对角线AC的
垂直平分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O.求证：
四边形AFCE为菱形．
[解析] 本例可利用定理1或定理2证明．
重难互动探究
第2课时 菱形的判定
证明： 证法一：∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°.
又∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴▱AFCE为菱形．
证法二：∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，AF＝CF，
AO＝CO，∠AOE＝∠COF.
又∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AFCE为菱形．
[归纳总结] 1.菱形的判定定理和性质互为逆定理，不要
混淆判定和性质．
2．菱形的判定定理1的前提是四边形，而菱形的判定定
理2的前提是平行四边形，应注意加以区分．
3．菱形的判定可从边和对角线两个方面来说明：判定定
理1是从边方面说明的，判定定理2是从对角线方面说明
的，无论是哪种判定方法，都应符合菱形定义的要求．
第2课时 菱形的判定
4．菱形还可以用以下方法判定：(1)两组对角分别相等，
且邻边相等的四边形是菱形；(2)两组对边分别相等，且
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；(3)对角线
互相垂直平分的四边形是菱形；(4)对角线互相垂直，且
一组对边平行且相等的四边形是菱形．
课 堂 小 结
第2课时 菱形的判定
[反思]怎样证明一个四边形是菱形呢？
[答案] (1)若已知四边形为平行四边形，只需再证它有一
组邻边相等或对角线互相垂直．
(2)若四边形为一般四边形，可先证它是平行四边形，再
证它是菱形；或者直接证四边都相等．
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