资料简介
第八章 二元一次方程组
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组
解决实际问题学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程
组解决简单的实际问题.（重点）
2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.
（重点、难点）导入新课
视频引入 思考：视频中的问题你知道怎么解吗
？
问题引入
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料
675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天
约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲
料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
讲授新课
列方程组解决简单实际问题一合作与交流
问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量:每头大牛1天需用的饲料;
每头小牛1天需用的饲料.
问题2 题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用
饲料为xkg和ykg，解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲
养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小
牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+ = 675,
+ = 940.
30x 15y
42
x
20y
解方程组：x= ,
y= .
20
5剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘
请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已
知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种
饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔
应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员
y人，则：
+ = 42,
+ = 20.
8x 5y
4x 2y 解得： x =4
y = 2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲
养员2人.典例精析
例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，
平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输
过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，
等量关系有：胜的场数+平的场数=11；
胜场得分+平场得分=27.
胜场 平场 合计
场数
得分
x
3x
y
y
11
27解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
8
y
3x y
3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
通过上述两题，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
总结归纳
数量关系
字母
2
代入消元 加减消元法练一练1：某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0
～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，
每千米的车费是多少元？
分析 本问题涉及的等量关系有：
总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.
根据等量关系,得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是5元，
超过3km后每千米收费1.5元.
起步价 超过3km
后的费用 合计费用
甲
乙
x
x
（11-3）y
（23-3）y
17
35练一练2：今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直
金八两．牛、羊各直金几何？
牛五、羊二
牛二、羊五 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共
价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两,
由题意,得
5x+2y=10,
2x+5y=8.
答:羊值“金” 两,牛值“金” 两.据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量
的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形
土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作
物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产
量的比是3:4？
请提取数学信息
列方程组解决几何问题二转换成数学语言：
A
D C
B
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，
AD=BC=100m，
长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方
形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比
是1:2.
目标：甲、乙两种作
物的总产量的比是3:4这里研究的实际上是 什么 问题.
分 析 把一个长方形分成两个小
长方形有哪些分割方式？
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
02 横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
试着画一画01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D CF
BE
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
分 析01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D CF
BE
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
分 析
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1 乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为 x+y=200
单位面积产量×面积01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D CF
BE
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4x y
200m
100m
解 答
x+y=200
解得 x=120
y=80
你觉得该如何答题
比较完整呢？
甲种作物 乙种作物
解：过点E作EF⊥AB，
交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 02 横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交
BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40解得
解 答
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）
6
0
x+y=60
x=3y
解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y,
由题意,得
解此方程组得：x =45,
y=15.
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.列方程组解决行程问题三
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.
假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走
80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，
一段为下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：
80 m/min
上坡路：
40 m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
路程=平均速度×时间
10
15方法一（直接设元法）
平路
时间
坡路
时间
总
时
间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.方法二（间接设元法）
平路
距离
坡路
距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,
上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.
故 平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m） 例2 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.
如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人
0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
典例精析
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示
题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.（1） 同时出发，同向而行
甲出发点 乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2） 同时出发，相向而行
甲出发点 乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南
京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到
达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速
度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江
水的平均流速为y千米/时.
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的
平均流速为2.5千米/时.1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，
则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.
问有多少节车皮？多少吨货物？
解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组
得 y=15.5x+4，
y=16.5x-8
（以下部分由同学们完成）
当堂练习2.2.某班有某班有4040名同学看演出，购买甲、乙两种票名同学看演出，购买甲、乙两种票
共用去共用去370370元，其中甲种票每张元，其中甲种票每张1010元，乙种票元，乙种票
每张每张88元元..请问甲种和乙种票各多少张？请问甲种和乙种票各多少张？
解得
答：甲种票25张，乙种票15张.3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这
样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有
九十四足，问鸡兔各多少只？
解得
答：鸡有23只，兔有12只.4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47
，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少
？
解得
答：甲数为10，乙数为 .5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，
乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相
等，则甲店和乙店原有练习本各多少？
解得
答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3 h，
则水流速度和船在静水中的速度各是多少？
解得
答：船在静水中的速度为10km/h，水流速度为2km/h.隔壁听到人分银，
不知人数不知银。
每人五两多六两，
每人六两少五两。
多少人数多少银？
解：设有x个人，y两银，
由题意得：
5x+6=y
6x-5=y
7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到
外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，
下面有这一古诗为证：
解得：
x=11
y=61
答：有11个人，61两银.8. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，
如果甲先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与
甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用 小时
可追上甲，求两人的速度．
解：设甲的速度为x千米/时，
乙的速度为y千米/时,则
答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.课堂小结
二
元
一
次
方
程
组
的
应
用
应
用
步
骤
简单实际问题
行程问题 路程=平均速度×时间
审题：弄清题意和题目中的
设元：用_____表示题目中的未知数
列方程组:根据__个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
数量关系
字母
2
代入法；加减法.
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