资料简介
第19章 四边形
19.1 多边形内角和
在平面内,由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相
连组成的封闭图形叫做三角形.
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相
连组成的封闭图形叫做多边形.
在平面内,由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相
连组成的封闭图形叫做五边形.
在平面内,由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相
连组成的封闭图形叫做四边形.
自主学习
顶点
内角
边
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
多边形的相关元素
外角
表示:五边形ABCDE
A
C
B
D
E
图1是凸多边形, 图2不是凸多边形,今后如果不作说明,我
们讲的多边形都是凸多边形.
图 2
如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长所得直
线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.
图 1
A
C
B
D
A
CB
D
相关概念
在多边形的顶点处一边与另一边的延长线所组成的
角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫
做这个多边形的外角和.
如何求出任意五边形的内角和?你能想出几种办
法?
合作探究
活动1:探究多边形的内角和
多边形的边数 4 5 6 … n
分成三角形的个数 …
多边形的内角和 …
2 3 4 n-2
360° 540° 720° (n-2)×180°
从多边形的一个顶点出发,引出所有的对角线,从而把
多边形分割为多个三角形.
定理:
n边形的内角和等于(n-2)·180(n为不小于3的整数).
说明:多边形的内角和仅与边数有关,与多边形的大小、
形状无关.
已知一个多边形,它的内角和等于900°,求这个多
边形的边数.
解: 设多边形的边数为n.
因为它的内角和等于 (n-2)•180°,
所以 (n-2)•180°= 900 °.
解得 n=7.
所以这个多边形的边数为7.
有一张长方形的桌面,现在锯掉它的一个角,有几种
情况?剩下的残余桌面的内角和为多少?
思考题:
三角形的外角和是多少度?你是怎样探究出来的?
A
B C D
E
F
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角
的和求出来,刚好是三个平角.
2.再用这六个角的和减去三个内角的和,剩下
的就是三角形的外角和了!
3×180°-(3-2)
×180°=360°
活动2:探究多边形的外角和
那
么
你
能
研
究
出
四
边
形
的
外
角
和
吗
?
整体思路:1.先求4个
外角+4个内角的和;
2.再减去4个内角的和.
容易看出,4个外角+4个内角=4个平角,而4个
内角的和是(4-2) × 180 ° ,那么四边形的
外角和就是4× 180°-(4-2) × 180°= 360°.
五边形的外角和是多少度?
六边形的外角和是多少度?
n边形的外角和是多少度?
… … … … … … …
5×180°-(5-2) ×180°=360°.
6×180°-(6-2) ×180°=360°.
n×180°-(n-2) ×180°= 360°.
n边形的外角和等于360°
理论证明:
所以n个外角与n个内角的和是n×180°,
所以n边形外角和是
n×180 ° -(n-2) ×180 ° =360 °.
而n边形的内角和是(n-2)×180 °.
因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补,
(n≥3).
知识要点
变式:你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的
内角和公式吗?
n•180 ° - 360 °
=n•180 ° -2×180 °
=(n-2)•180 °.
分析:
例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是
几边形?
解: 设这个多边形的边数为n,则它的内角和等于 (n
-2)•180°。
因为外角和等于360 ° ,所以
(n-2)•180°= 3×360 °.
n = 8,
所以这个多边形的边数为8.
三角形如果三条边都相等,三个角也都相等,那么这样的
三角形就叫做正三角形.
如果多边形各边都相等,各个角也都相等,那么这样的多
边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形(正方形)、正
五边形等等 .
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
(或正四边形)
活动3:探究正多边形
下列图形是不是正多边形?
(1)各条边都相等的多边形是正多边形;
(2)各个角都相等的多边形是正多边形.
由上面的结论判定下列说法正确吗?
强调:
2.各个角都相等。
1.各个边都相等;缺一不可:
菱形 长方形
课堂小结
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾
顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
n边形的内角和等于(n-2)·180(n为不小于3的整数).
说明:多边形的内角和仅与边数有关,与多边形的大小、
形状无关.
n边形的外角和等于360° (n≥3).
查看更多