资料简介
第17章 一元二次方程
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
2.求根公式是什么?根的个数怎么确定的?
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?
方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
问题:你发现这些一元二次方程的系数与x1+ x2,
x1 • x2有什么规律?
2 1 3 2
-1 3 2 -3
1 4 5 4
合作探究
活动:探究一元二次方程的根与系数的关系
方 程
-2
x1+ x2,x1∙x2与系数有什么规律?
猜想:当二次项系数为1时,方程 x2+px+q=0的两根为
x1, x2.
猜想:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,
且a≠0)的两根为x1,x2,则:
x1+x2和x1.x2与系数a,b,c 的关系:
任何一个一元二次方程的根与系数的关系:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1 + x2= , x1 ·x2= .-
(韦达定理)
注:能用根与系数的关系的前提
为b2-4ac≥0.
一、直接运用根与系数的关系
例1.不解方程,求下列方程两根的和与积.
在使用根与系数的关系时,应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
⑵在使用x1+x2=- 时,注意“- ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2.设 是方程 的两个根,利用根
与系数的关系,求下列各式的值.
三、构造新方程
例3.求一个一元二次方程,使它的两个根是2和3,且二
次项系数为1.
变式:且二次项系数为5.
例4.方程 的两根同为正数,求p、q的取
值范围.
四、求方程中的待定系数
变式:方程 有一个正根,
一个负根,求m的取值范围.
解:由已知,得 △=
即 m>0,
m-1
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