资料简介
相等向量与共线向量
人教A版必修4§2.1.3
课堂导入:
有向线段有哪3个要素?
对于两个向量a、b,它们的长度可能相
等,也可能不相等;它们的方向可能相
同,也可能不相同.
思考:
1.比较两个向量的长度和方向的异同关系,
有哪几种可能情形?
2.长度相等且方向相同的向量是什么关系?
一、相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等
向量,记作a=b.
提示:
(2)对一组相等的向量,将它们的起点平移到同一
点O,则他们的终点重合.
(3)模相等(或方向相同)是向量相等的必要条件,
模相等且方向相同是向量相等的充要条件.
(4)对于一个非零向量,只要不改变它的大小和
方向,就可以任意平行移动,平移后的向量与原
向量是相等向量,这为用向量处理几何问题带来
了很大的方便.
(5)对于不共线的四点A、B、C、D,若
,则A、B、C、D是一个平行四边行的四个顶点.
(6)相等向量具有传递性,即如果a=b,且b=c
,那么a=c.
典例剖析
例1 如下图,四边形ABCD和ABDE都是平
行四边形.
(1)写出与向量 相等的向量;
(2)若 =3,求向量 的模.
规律:
(1)在图形背景下找相等向量,只要根据相等
向量的定义,观察图形可直观得出结论.在逻
辑分析中,要注意相等的传递性.
(2)一般地, ,当且仅当AB与BC
同向时取等号.
变式练习 如下图,B、C是线段AD的两个三等分点,
在以图中各点为起点和终点的向量中,最多可以写出
多少个互不相等的非零向量?并举例说明.
设线段AD的长度为3,那么模为1的向量有6个,模为2
的向量有4个,模为3的向量有2个,即共有12个向量.
在模为1的向量中,
∴ 不同的向量只能写2个;
在模为2的向量中,
∴ 不同的向量也只能写2个;
模为3的向量是 它们不相等.
故最多可以写出6个互不相等的非零向量,
例如
二 、共线向量
任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,
平行向量也叫做共线向量.
(2)两个共线向量并不一定要在同一条直线上,只要两个向
量的方向相同或相反,就是共线向量.
(3)两个共线向量a、b所在直线,可能平行或重合,但不能
相交.
(4)两个非零共线向量也包括以下四种情况:方向相同且模
相等;方向相同且模不相等;方向相反且模相等;方向相反且
模不相等.因此,共线向量不一定是相等向量,而相等向量一
定是共线向量.
典例剖析
例2 判断下列命题的真假:
(1)若两个单位向量共线,则这两个单位向量相等;
(2)不相等的两个向量一定不共线;
(3)若a为非零向量,则与a相等的向量必与a共线;
答案:
(1)假命题,两个单位向量共线,它们的方向可以相反,从而
不一定相等;
(2)假命题,不相等的两个向量有可能其模不相等,但方向相
同或相反,从而不相等的两个向量有可能个共线;
(3)真命题,相等向量其方向相同,从而一定是共线向量;
规 律:
判断与共线向量有关的命题的真假,要
依据共线向量或平行向量的定义,并结合图
形,列举反例等进行评判.只要有一个反例
与命题不符,则命题不正确,同时要注意零
向量与任何向量共线这一特例.
复习:
1. 的向量叫相等向量,若a与b相
等,记作 .
2.由于向量可以平行移动,所以任一组平行向量都
可以移到同一直线上,因此平行向量也叫
.
3.向量与有向线段的区别是:向量只有 和
两个要素,与 无关,只要大小和方向
相同,则这两个向量就是向量相同向量.
有向线段有 、 和 三个要素,
不同,尽管大小和方向相同也是不同有向线段.
长度相等且方向相同
a=b
共线向量
大小 方向
方向 起点
起点
大小
4.共线向量与相等向量的关系,即共线
向量 是相等向量,而相等的向
量 是共线向量.
5.由向量相等的定义可以知道,对于一
个向量,只要不改变它的大小和方向,
是可以平行移动的,因此,用有向线段
表示向量时,可以任意选取有向线段的
起点.由此可知,任意一组平行向量都
可以 .
不一定
一定
移动到同一条直线上
作 业
P77,第3题.P78,第2题.
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