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相等向量与共线向量 人教A版必修4§2.1.3 课堂导入: 有向线段有哪3个要素? 对于两个向量a、b,它们的长度可能相 等,也可能不相等;它们的方向可能相 同,也可能不相同. 思考: 1.比较两个向量的长度和方向的异同关系, 有哪几种可能情形? 2.长度相等且方向相同的向量是什么关系?  一、相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等 向量,记作a=b. 提示: (2)对一组相等的向量,将它们的起点平移到同一 点O,则他们的终点重合. (3)模相等(或方向相同)是向量相等的必要条件, 模相等且方向相同是向量相等的充要条件. (4)对于一个非零向量,只要不改变它的大小和 方向,就可以任意平行移动,平移后的向量与原 向量是相等向量,这为用向量处理几何问题带来 了很大的方便. (5)对于不共线的四点A、B、C、D,若 ,则A、B、C、D是一个平行四边行的四个顶点. (6)相等向量具有传递性,即如果a=b,且b=c ,那么a=c. 典例剖析 例1 如下图,四边形ABCD和ABDE都是平 行四边形. (1)写出与向量 相等的向量; (2)若 =3,求向量 的模. 规律: (1)在图形背景下找相等向量,只要根据相等 向量的定义,观察图形可直观得出结论.在逻 辑分析中,要注意相等的传递性. (2)一般地, ,当且仅当AB与BC 同向时取等号. 变式练习 如下图,B、C是线段AD的两个三等分点, 在以图中各点为起点和终点的向量中,最多可以写出 多少个互不相等的非零向量?并举例说明. 设线段AD的长度为3,那么模为1的向量有6个,模为2 的向量有4个,模为3的向量有2个,即共有12个向量. 在模为1的向量中, ∴ 不同的向量只能写2个; 在模为2的向量中, ∴ 不同的向量也只能写2个; 模为3的向量是 它们不相等. 故最多可以写出6个互不相等的非零向量, 例如 二 、共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此, 平行向量也叫做共线向量. (2)两个共线向量并不一定要在同一条直线上,只要两个向 量的方向相同或相反,就是共线向量. (3)两个共线向量a、b所在直线,可能平行或重合,但不能 相交. (4)两个非零共线向量也包括以下四种情况:方向相同且模 相等;方向相同且模不相等;方向相反且模相等;方向相反且 模不相等.因此,共线向量不一定是相等向量,而相等向量一 定是共线向量. 典例剖析 例2 判断下列命题的真假: (1)若两个单位向量共线,则这两个单位向量相等; (2)不相等的两个向量一定不共线; (3)若a为非零向量,则与a相等的向量必与a共线; 答案: (1)假命题,两个单位向量共线,它们的方向可以相反,从而 不一定相等; (2)假命题,不相等的两个向量有可能其模不相等,但方向相 同或相反,从而不相等的两个向量有可能个共线; (3)真命题,相等向量其方向相同,从而一定是共线向量; 规 律: 判断与共线向量有关的命题的真假,要 依据共线向量或平行向量的定义,并结合图 形,列举反例等进行评判.只要有一个反例 与命题不符,则命题不正确,同时要注意零 向量与任何向量共线这一特例. 复习: 1. 的向量叫相等向量,若a与b相 等,记作 . 2.由于向量可以平行移动,所以任一组平行向量都 可以移到同一直线上,因此平行向量也叫 . 3.向量与有向线段的区别是:向量只有 和 两个要素,与 无关,只要大小和方向 相同,则这两个向量就是向量相同向量. 有向线段有 、 和 三个要素, 不同,尽管大小和方向相同也是不同有向线段.  长度相等且方向相同 a=b 共线向量 大小 方向 方向 起点 起点 大小 4.共线向量与相等向量的关系,即共线 向量 是相等向量,而相等的向 量 是共线向量. 5.由向量相等的定义可以知道,对于一 个向量,只要不改变它的大小和方向, 是可以平行移动的,因此,用有向线段 表示向量时,可以任意选取有向线段的 起点.由此可知,任意一组平行向量都 可以 . 不一定 一定 移动到同一条直线上 作 业 P77,第3题.P78,第2题. 查看更多

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