资料简介
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的
范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“
狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、
向外转体1080º；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多
少度？
这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且
方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA
，绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0º角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做
负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－
150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大
了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150,
=660.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周
（360×2=720） 3周（360×3=1080）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义
的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象
与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针
和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根
据以往的经验，我们可以把一对意义相反的
量用正负数来表示，那么许多问题就可以解
决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，
角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º
， － 540º等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标
系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于
x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几
象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的
终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象
限） 例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135 、2000是第Ⅱ象限角等
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于
任何象限，或称这个角为轴线角.
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与
30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到
360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－
1)
30=30+0×360 (k=0),
1470=30+4×360(k=4)
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论：
所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可
以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应
看成k·360º+(－30º)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们
相差360º的整数倍.
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边
相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º，
∴240º的角与－120º的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º，
∴280º的角与640º的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’，
∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) },
S中在－360º～720º间的角是
－1×360º+60º=－280º；
0×360º+60º=60º；
1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
0×360º－21º=－21º；
1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º．
(3) S={β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
－2×360º+363º14’=－356º46’；
－1×360º+363º14’=3º14’；
0×360º+363º14’=363º14’．
例3: 写出终边在Y轴上的角的集合
分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,
然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合
解答:终边在Y轴的非负半轴上的角的集合为边在
Y轴的负半轴上的角的集合为
终边在Y轴的非正半轴上的角的集合为
x
y
o
x
y
o
例4．用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为
第二象限的角表示为
第三象限的角表示为
第四象限的角表示为
{|k360
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