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8.4 三元一次方程组的解法/
8.4 三元一次方程组的解法
人教版 数学 七年级 下册
8.4 三元一次方程组的解法/
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元 一元一次方程
化二元为一元 化归转化思想
代入消元法和加减消元法 消元法
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
导入新知
8.4 三元一次方程组的解法/
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程
中进一步体会“消元”思想.
素养目标
3. 会解较复杂的三元一次方程组.
8.4 三元一次方程组的解法/
问题： 1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、
2元、5元的纸币各多少张？
探究新知
知识点 1 三元一次方程组的概念三元一次方程组的概念
8.4 三元一次方程组的解法/
1元
2元
5元
合 计
（三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
5z
12 22
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，
即x=4y
探究新知
面值 张数 钱数
x
y
z
x
2y
注
8.4 三元一次方程组的解法/
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们
自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z
张，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法/
对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因
此，我们把三个方程合在一起写成
这个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数
的项的次数是 .
三
1
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8.4 三元一次方程组的解法/
含有三个不相同的未知数，且每个方程中含未知数的项
的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组．
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由此，我们得出三元一次方程组的定义
8.4 三元一次方程组的解法/探究新知
例1 下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
素 养 考 点 1 三元一次方程组的判断
D
8.4 三元一次方程组的解法/
1.下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A
.
B
.
C. D
.
D
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
求每一个一次方程都含有三个未知数．
巩固练习
8.4 三元一次方程组的解法/
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程
的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”
，把“三元”化成“二元”
呢？
知识点 2
探究新知
三元一次方程组的解法
8.4 三元一次方程组的解法/
例2 解三元一次方程组
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
素 养 考 点 1 三元一次方程组的解法
分析：方程①中
只含x, z, 因此,可
以由②③消去y,
得到一个只含x, z
的方程, 与方程①
组成一个二元一
次方程组.
8.4 三元一次方程组的解法/
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
因此，三元一次方程组的解为
你还有其它解
法吗？试一试，
并与这种解法
进行比较.
探究新知
例2 解三元一次方程组
①
②
③
8.4 三元一次方程组的解法/
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“
加减”进行 ，把 转化为 ，使
解三元一次方程组转化为解 ，进而再转
化为解 .
三元一次
方程组
二元一次
方程组
一元一次
方程
消元 消元
消元 “三元” “二元”
二元一次方程组
一元一次方程
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2.解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得 2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程组的解是 x=9
y=8
z=6
①
②
③
类似二元一次方程组
的“消元”,把“三
元”化成“二元”.
巩固练习
8.4 三元一次方程组的解法/
例3 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时
,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
素 养 考 点 2 三元一次方程组求字母的值
8.4 三元一次方程组的解法/
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.解这个方程组，得
把 代入①，得a=3，
b=-2 c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
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3.已知 是方程组
的解,则a+b+c的值是____________. 3
巩固练习
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例4 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包
含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养
师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C
三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的
铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
素 养 考 点 3
探究新知
利用三元一次方程组解答实际问题
8.4 三元一次方程组的解法/
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位
的维生素，得方程组
③
①
②
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出
方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿
营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
探究新知
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(2)②-①×4,③-①,得
⑤
①
④
⑤+④,得
⑥
①
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份
.
探究新知
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4.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬
菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资
金如下表:
巩固练习
农作物品种 每公顷需劳
动力
每公顷需投
入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作
物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金
正好够用?
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解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
依题意,得
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
巩固练习
解得：
8.4 三元一次方程组的解法/
(2019·黑龙江模拟)小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价
分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后
以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习
用品,则小明妈妈的购买方法有( )
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
解析：设分别购买学习用品的数量为x,y,z.由题意得 ,
即 ①-②得:y+2z=16,所以y=16-2z③,所以满足x、y、z之
间关系的取值可以是:当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.
当y=6时,z=5,x=1.所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
巩固练习
连 接 中 考
D
8.4 三元一次方程组的解法/
1.方程 ，3x＋y＝0,2x＋8y＝1,3x＋y－2x＝0，
x2－x＋1＝0中，二元一次方程的个数是( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
8.4 三元一次方程组的解法/
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（
）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加
得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
基 础 巩 固 题
课堂检测
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3.解方程组
则x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5
，z＋x－y＝1.
①
②
③
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y，
②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x
即可.
6 8 3
基 础 巩 固 题
课堂检测
8.4 三元一次方程组的解法/
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
能 力 提 升 题
课堂检测
8.4 三元一次方程组的解法/
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意，得
答：原三位数是368.
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的
数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的
数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
拓 广 探 索 题
课堂检测
解得：
8.4 三元一次方程组的解法/
三元一次方程组
三元一次方
程组的概念
三元一次方
程组的解法
三元一次方
程组的应用
课堂小结
8.4 三元一次方程组的解法/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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