天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 九年级下册 / 第二十六章 反比例函数 / 26.2 实际问题与反比例函数 / 人教版九年级数学下册 26.2 实际问题与反比例函数课件
资料简介
26.2实际问题与反比例函数/
26.2 实际问题与反比例函数
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人教版 数学 九年级 下册
26.2实际问题与反比例函数/
实际生活中的反比例函数
第一课时
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26.2 实际问题与反比例函数/
你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数
学知识吗？
（1）体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度
y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）s（单位：cm2
）有怎样的函数关系？
（2）某家面馆的师傅手艺精湛，
他拉的面条粗1mm2，面条总长是
多少？
导入新知
（s>0）
26.2 实际问题与反比例函数/
1. 灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.
2. 能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学
模型，解决实际问题.
素养目标
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围.
26.2 实际问题与反比例函数/
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储
存室.
(1) 储存室的底面积 S （单位：m2 ）与其深度 d （单位：m ）
有怎样的函数关系?
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
探究新知
知识点 1 利用反比例函数解决实际问题利用反比例函数解决实际问题
素 养 考 点 1 利用反比例函数解答几何图形问题利用反比例函数解答几何图形问题
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向地下掘进多深?
解得 d = 20 （m） .
如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘
进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公
司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室
的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)?
解得 S≈666.67(m²).
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m².
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和第（3）
问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系
？
方法点拨：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，
然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，由
题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是
反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数S的值，
求自变量d的取值，第（3）问则是与第（2）问相反．
探究新知
【思考
】
26.2 实际问题与反比例函数/
1.我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b
的反比例函数，其函数关系式可以写为 （s为常数，s≠0）．
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反
比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．
实例： ；
函数关系式： ．
解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习可以举出许
许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例，三角形的面
积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系
式可以写为 （s为常数，s≠0）．
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L
(1L＝1dm3)的圆锥形漏斗．
（1）漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d
(单位：dm) 有怎样的函数关系? d解：
（2）如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为
多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果漏斗口的面积为60 cm2，则漏斗的深为多少?
解：60 cm2 = 0.6 dm2，
把 S =0.6 代入解析式，得 d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了
8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与
卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
探究新知
素 养 考 点 2 利用反比例函数解答运输问题
分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货
物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v 关于t 的
函数解析式.
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载
完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平
均每天卸载 48 吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越
小，v 越大.这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要
卸载 48 吨.
解：把 t =5 代入 ，得
探究新知
（吨／天）
26.2 实际问题与反比例函数/
【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对
应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？
方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作
总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个
变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉
及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v
取最小值．
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
3. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现
在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）
刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天.
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画出函数图象；
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨），
∵x•y=90，∴ ．
（2）函数的图象为：
（3）∵每天节约0.1吨煤，
∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨），
∴ （天），
∴这批煤能维持180天．
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速
度用 6 小时到达乙地.
（1） 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6=480 （千米）
答：甲、乙两地相距 480 千米.
（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的
函数关系？
解：由题意得 vt =480，
整理得 （t ＞0）.
探究新知
素 养 考 点 3 利用反比例函数解答行程问题
26.2 实际问题与反比例函数/
4. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.
（1） 火车的速度 v （千米/时） 和行驶的时间 t （时）
之间的函数关系是 ．
（2） 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小
时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 ．240千米/时
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
（2018•杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的
地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这
批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求 v 关于 t 的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小
时至少要卸货多少吨？
巩固练习
连 接 中 考
26.2 实际问题与反比例函数/
连 接 中 考
巩固练习
解：（1）由题意可得：100=vt，
则 ；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则 ，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
26.2 实际问题与反比例函数/
1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速
度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的
速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A． B．v+t=480
C． D．
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2 实际问题与反比例函数/
2. 体积为 20 cm3 的圆柱体，圆柱体的高为 y (单位：
cm） 与圆柱的底面积 S (单位：cm2） 的函数关系
，若圆柱的底面面积为 10 mm2，则圆柱的高是
cm.
200
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2 实际问题与反比例函数/课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）
与x（个）之间的函数是________函数，其函数关系式是
_______________ ．当人数增多时，每人分得的苹果就会减
少，这正符合函数 （k＞0），当x＞0时，y随x的增大
而_______的性质.
反比例
减少
26.2 实际问题与反比例函数/
刘东家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时
的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
(2) 若刘东到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
能 力 提 升 题
课堂检测
解：
解：把 t =30代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要
几分钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =24．
答：他至少需要 24 分钟到达单位．
能 力 提 升 题
课堂检测
26.2 实际问题与反比例函数/
在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水
渠的工程，所需天数 y（天）与每天完成的工程量 x（ m/天）
的函数关系图象如图所示.
（1）请根据题意，求 y 与 x 之间的函数
表达式；
50
24 x(m/天)
y(天)
O解：
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开
挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内
(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
解：1200÷30=40 (m)，
故每天至少要完成40 m．
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
实
际
问
题
中
的
反
比
例
函
数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的
单位长度不一定相同.
课堂小结
26.2实际问题与反比例函数/
物理学科中的反比例函数
第二课时
返回
U
R
~
26.2实际问题与反比例函数/
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
1．你认为可能吗？
2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理
？
3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，
是真的吗？
导入新知
26.2实际问题与反比例函数/
2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体
验学科的整合思想.
1. 体验现实生活与反比例函数的关系，通过
“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题
与反比例函数的关系.
素养目标
26.2实际问题与反比例函数/
阻
力
动
力
阻力臂 动力臂
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名
的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与
其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
探究新知
支点
26.2实际问题与反比例函数/
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N
和0.5m.
（1） 动力 F 与动力臂l 有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，
撬动石头至少需要多大的力?
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于l 的函数解析式为
对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡.
因此撬动石头至少需要400N的力.
探究新知
知识点 1 反比例函数与力学反比例函数与力学
当 l=1.5m 时， (N)
26.2实际问题与反比例函数/
（2） 若想使动力 F 不超过题 （1） 中所用力的一半，则动力臂l
至少要加长多少?
分析：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求
出 F =200 N 时对应的l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量.
300－1.5 =1.5 （m）.
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小. 因此，若想用力
不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
探究新知
解：当 时，由 ，得
26.2实际问题与反比例函数/
【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，
设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，
L又怎么变？
2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200
，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由
此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，
分别为100牛和0.2米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系
式是________．
2. 小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，
分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至
少需要的力为________牛顿． 500
巩固练习
26.2实际问题与反比例函数/
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片
烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S
(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化. 如果人
和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么
？ 解：由 得
p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一
个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数．
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当S ＝0.2 m2 时，
故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大
？解：当 p=6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S越大，p越小. 因此，
若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
3.在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在
力的方向上移动的距离s（单位：m）成反比例关系，其图象
如图所示，点P（5，1）在图象上，则当力F达到10 N时，物
体在力的方向上移动的距离是________m.
巩固练习
0.5
26.2实际问题与反比例函数/
一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω.
已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
探究新知
知识点 2 反比例函数与电学反比例函数与电学
U~
R
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
【讨论】根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压
一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系
？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足
什么函数关系？
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关
系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根
据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR＝U2
，P指用电器的输出功率（瓦），U指用电器两端的电压
（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．
探究新知
方法点拨
26.2实际问题与反比例函数/
4. 在公式 中，当电压U一定时，电流I与电
阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（ ）D
巩固练习
A B C D
26.2实际问题与反比例函数/
5. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成
反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
巩固练习
26.2实际问题与反比例函数/
1.（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项
工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程
中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室
内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函
数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所
示．下面四个选项中错误的是（ ）
巩固练习
连 接 中 考
C
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
10mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分
钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，
所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，
学生才能进入室内
26.2实际问题与反比例函数/
1. 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的
面积为定值S时， y与 x 的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体
的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图
所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全
起见，气球的体积应 ( )
A. 不大于 B. 小于
C. 不小于 D. 大于
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
C
课堂检测
3.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻
R（Ω）成反比例. 下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间
的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
4. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂
为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，
只有 300 牛顿的力量，他该选择动力臂为 的撬棍才能撬
动这块大石头呢.
2 米
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，
且OB=20cm．
（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；
（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少
牛顿的力？
能 力 提 升 题
课堂检测
26.2实际问题与反比例函数/
解：（1）F•h=8×20=160
所以
（2）当h=80cm时，
所以在A端需要施加2牛顿的力.
课堂检测
能 力 提 升 题
26.2实际问题与反比例函数/
蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是
电阻R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
解： 设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的表达式为 .O
9
I(A)
4 R(Ω)
M (4，9)
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是4A．
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2实际问题与反比例函数/
物
理
学
科
中
的
反
比
例
函
数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学的
综合
与电学的
综合
课堂小结
26.2实际问题与反比例函数/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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