资料简介
27.2 相似三角形/
27.2.3 相似三角形应用举例
人教版 数学 九年级 下册
27.2相似三角形
27.2 相似三角形/
27.2 相似三角形/
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角
形的性质是什么？
2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直
接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
导入新知
27.2 相似三角形/
怎样测量
河宽？
导入新知
世界上最宽的河
——亚马逊河
27.2 相似三角形/导入新知
世界上最高的树
—— 红杉
27.2 相似三角形/导入新知
旗杆
27.2 相似三角形/导入新知
乐山大佛
怎样测量这些
非常高大物体
的高度？
27.2 相似三角形/
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物
体的高度及两物之间的距离问题.
导入新知
27.2 相似三角形/
1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理进
行简单的几何推理.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转
化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形
的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高
度和宽度的测量问题.
素养目标
27.2 相似三角形/
古希腊数学家、天文学家
泰勒斯利用相似三角形的原理，
测量金字塔的高度.
探究新知
知识点 1 利用相似三角形测物体利用相似三角形测物体
27.2 相似三角形/
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相
似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线
构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为
201m，求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF，
又∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m．
素 养 考 点 1 利用相似三角形测物体的高
探究新知
怎样测出
OA的长？
∴
∴
27.2 相似三角形/
【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题
？
【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与
其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着
太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到
被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
探究新知
27.2 相似三角形/
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同
时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
∵△ABC ∽ △A'B'C'
解得 A'C'=54m
答：这栋高楼的高度是54m.
解
：
A
B C
1.8m
3m
A'
B' C'90m
?
巩固练习
∴ 即
27.2 相似三角形/
AF
E
B
O
┐┐
还可以有其他测量方法吗
？
△ABO∽△AEF
平面镜
【想一想】
探究新知
27.2 相似三角形/
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以
用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
探究新知
注：反射角与入射角相等是隐含条件.
27.2 相似三角形/
2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点
P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，
刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3
米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
B
巩固练习
27.2 相似三角形/
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个
目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂
直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT
与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
解得PQ＝90.
P
Q R
S T a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此，河宽大约为90m.
探究新知
素 养 考 点 2 利用相似三角形测物体的宽
∴ 即
27.2 相似三角形/
【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？
【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，
关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字
型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据
相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．该例题还可
参照课本P41页练习2设计测量方案．
探究新知
27.2 相似三角形/
3. 如图，测得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河
宽AB．
A
DB
E
C
解： ∵ AB∥CE
∴△ABD∽△ECD
答：河宽AB为280m.
巩固练习
∴
即
AB=280m.解得
27.2 相似三角形/
测量如河宽等不易直接测量的物体的
宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
巩固练习
27.2 相似三角形/
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两
树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两
棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多
少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？
分析：如图（1），设观察者眼睛的位
置为点F，画出观察者的水平视线FG
，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、
FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.
类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．
由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察
者看不到的区域（盲区）之内．
探究新知
素 养 考 点 3 利用相似三角形测量有遮挡的物体
图（1）
仰角
水平线
视线
27.2 相似三角形/
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点
E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK
即
解得 EH＝8（m）
由此可知，如果观察者继续前进，
即她与左边树的距离小于8m时，由于这
棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察
者的盲区之内，观察者看不到它．
探究新知
图（2）
∴
27.2 相似三角形/
【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是
怎样的?
【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作
垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，
利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
探究新知
27.2 相似三角形/
4. 如图，AD⊥AB，EF ⊥ AB，BC ⊥ AB，DH ⊥ BC，
DH交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三
角形是 ______∽______．
EG BH
△DGF △DHC
巩固练习
27.2 相似三角形/
1.（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标
杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是
（ ）
A．9.3m B．10.5m
C．12.4m D．14m
连 接 中 考
巩固练习
B
27.2 相似三角形/
2.（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成
书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得
影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几
何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子
长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸
（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺
C．一丈 D．五尺
连 接 中 考
巩固练习
B
27.2 相似三角形/
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
27.2 相似三角形/
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学
知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在
C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同
一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的
高度是____米． 8
课堂检测
基 础 巩 固 题
27.2 相似三角形/
3. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标
作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，
再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，
DC＝60米，EC＝50米，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m120m
课堂检测
基 础 巩 固 题
27.2 相似三角形/
解：∵ ∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ，即
，
解得 AB = 100(m).
因此，两岸间的大致距离为 100 m. E
A
D
C
B
60m
50m120m
课堂检测
基 础 巩 固 题
27.2 相似三角形/
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF
来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF
与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知
DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，
到旗杆的水平距离 DC = 20 米，
求旗杆的高度.
A
B
C D
G
E
F
课堂检测
能 力 提 升 题
27.2 相似三角形/
A
B
C D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴
课堂检测
能 力 提 升 题
27.2 相似三角形/
如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，
另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的
影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，
小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮
助小明求出旗杆的高度． A
B C
D
课堂检测
拓 广 探 索 题
27.2 相似三角形/
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
故学校旗杆的高度为 10 m.
E
A
B C
D
课堂检测
拓 广 探 索 题
27.2 相似三角形/
相似
三角
形的
应用
举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
课堂小结
27.2相似三角形/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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