资料简介
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
常量与变量
第一课时
返回
行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
导入新知
气温随海拔而变化
导入新知
汽车行驶里程随行驶时间而变化
导入新知
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，
我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同
见证事物变化的规律.
导入新知
1. 了解变量与常量的意义.
2. 体会运动变化过程中的数量变化.
素养目标
t /h 1 2 3 4 5
s /km
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间
为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？
(1)请同学们根据题意填写上表：
(2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的
量是_____.
(3)试用含t的式子表示s 是_______.
时间t，路程s
速度
s=60t
12060 180 240 300
探究新知
知识点 1 常量与变量常量与变量
2.每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150张票，第
二场售出205张票，第三场售出310 张票，
(1)第一场电影的票房收入 _____元；
第二场电影的票房收入 _____元；
第三场电影的票房收入 _____元.
(2) 在以上这个过程中,变化的量是
_____________________
不变化的量是___________.
(3) 设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的
式子表示y？
（4）y的值随x的值的变化而变化吗？
1500
2050
3100
售出票数x，票房收入y
票价10元/张
y=10x
y的值随x的值的变化而变化
探究新知
3.你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当
圆的半径分别为10cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多
少？S的值随r的值的变化而变化吗？
当圆的半径为10cm时，面积为S=100π cm2 ;
当圆的半径为20cm时，面积为S=400π cm2 ;
当圆的半径为30cm时，面积为S=900π cm2 .
探究新知
圆面积S与圆的半径r之间的关系式是————————；
其中变化的量是—————；不变化的量是————————.
S= πr2
S， r π
注意：此处的
2是一种运算
这个问题反映了___________随________的变化过程．圆的面积S 半径r
4.用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m
，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值
随x的值的变化而变化吗？
当x为3m时，y为2m;
当x为3.5m时，y为1.5m;
当x为4m时，y为1m;
当x为4.5m时，y为0.5m;
y的值随x的值的变化而变化.
矩形的周长10m与它的边长x，y之间的关系式是————————
；
其中变化的量是—————；不变化的量是————————.
2(x+y)=10
x，y 10
探究新知
数值发生
变化的量 变量
数值始终
不变的量 常量
上述运动变化过程中出现的数量，你认为
可以怎样分类？
探究新知
s = 60t y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量
.
2（x+y)=10S=πr2
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：
发生了变化和始终不变.
探究新知
例1 某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与时
间t之间的关系中，下列说法正确的是( )
A. 数100和W，t都是变量
B. 数100和W都是常量
C. W和t是变量
D. 数100和t都是常量,
C
C
素 养 考 点 1 实际问题中常量与变量的识别
探究新知
1.一个长方形的面积是10 cm2，其长是a cm，宽是b cm，
下列判断错误的是( )
A. 10是常量 B. 10是变量
C. b是变量 D. a是变量
2.林老师发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示
“元/升”其数值是固定不变的，另外两个量分别表示
“数量” “金额”，数值一直在变化，在这三个量当中
_________是常量，______________是变量.
B
B
元/升 数量、金额
巩固练习
例2 指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4，
(2) y=x，
(3) y= x2＋2x－8
，(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
探究新知
素 养 考 点 2 关系式中常量与变量的识别
八年级 数学
3.指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6
(2)
(3) y= 4x2＋5x－7
(4) C = 2πr
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量.
（2）6是常量，x、y是变量.
（3）4、5、-7是常量，x、y是变量.
（4）2,π是常量，C、r是变量.
巩固练习
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)?
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每
1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，l增加0.5，所以l=10+0.5m.
重物的
质量
(kg)
1 2 3 4 5
弹簧长
度(cm)
10.5 11 11.5 12 12.5
探究新知
素 养 考 点 3 确定两个量之间的关系式
4．写出下列各问题中的关系式：
(1)n（n＞2）边形的内角和的度数s与边数n的关系
式；
(2)等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式．
s=180° (n-2)．
y=180 ° -2x．
巩固练习
（2018•安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比
2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和
2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
巩固练习
连 接 中 考
B
1.某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常
量是 ,变量是 .
2.s米的路程，不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间
为t分，其中常量是 ,变量是 .
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：
. 在不同的条件下，常量与变量是相对的.
a t，s
s a，t
课堂检测
基 础 巩 固 题
x
图1
5.如图2，正方体的棱长为a,表面积S= ，体积V= .
a
图2
C= 4x
6a2 a3
4.如图1，正方形的周长C与边长x的关系式为：
变量是: 常量是: ;C、x 4
课堂检测
基 础 巩 固 题
表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x
（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高度x的
关系，据表可以写出的一个关系式是 ．y=0.5x
课堂检测
能 力 提 升 题
x 50 80 100 150
y 25 40 50 75
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y
与层数x之间的关系式.
1 2 3 … n
y …1 1+2 1+2+3 1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式：
x
拓 广 探 索 题
课堂检测
常量与变量
常量与变量的概念
列出变量之间的关系式
常量：数值始
终不变的量
变量：数值发
生变化的量
课堂小结
函数和函数值
第二课时
返回
运动会开幕式上，火炬手以3
米／秒的速度跑步前进传递火
炬，传递路程为s米，传递时间
为t秒,怎样用含t的式子表示 s？
导入新知
2. 确定函数中自变量的取值范围，注意问题
的实际意义.
1. 理解函数的概念，能准确识别出函数关系
中的自变量和函数 .
素养目标
问题1：全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，
传递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：
怎样用含t的式子表示 s？
________ 随着 的变化而变化，当 确定一个
值时， 就随之确定一个值.
s=3t
传递路程s 传递时间t 传递时间t
传递路程s
t(秒) 1 2 3 4
s(米)
【思考】1.每个问题中有几个变量？
2.同一个问题中的变量之间有什么联系？
探究新知
知识点 1 函数的有关概念函数的有关概念
3 6 9 12
问题2：用10 m 长的绳子围成长方形，若改变长方形的长
度，长方形的面积会怎样变化.
一边长为x( m ) 4 3 2.5 2 …
另一边长为
( )（m）
…
长方形面积
(m2)
…
设长方形的面积为S(m2),一边长为x,怎样用含x的式子表示长
方形的面积S？
4
1 2 2.5 3
6 6.25 6
5-x
S=x(5-x)
探究新知
【讨论】上面的两个问题中，各变量之间有什么共同
特点？
①时间 t 、传递路程 s
；
②边长x 、面积S.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量
的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与
y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值
与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
探究新知
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时
的函数值.
（1
）
（2
） （3）
1.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，
怎样改变，才能使y是x的函数？
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函
数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其
对应.将关系式改为 或 ，都能使y
是x的函数.
巩固练习
例1 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关
系的是 ．①
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一
个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
探究新知
素 养 考 点 1 利用函数的定义判断函数利用函数的定义判断函数
② ③
2.变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函
数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的
值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的
函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改
为“＋”或“－”.
巩固练习
例2 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代
入关系式中，即
可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
探究新知
素 养 考 点 2 求函数的值求函数的值
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，
y=0.
3.已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
巩固练习
请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以70 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单
位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
知识点 2
探究新知
确定自变量的取值范围确定自变量的取值范围
【思考】问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
s=70t
y=180° (n-2)．
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，
在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数
没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数
的自变量取值范围．
探究新知
根据刚才的思考问题，你认为函数的自变量可以取任意值吗
？
例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的
油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，
平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子
. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
探究新知
素 养 考 点 1 确定自变量的取值范围确定自变量的取值范围
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析
式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
探究新知
汽车行驶里程，油
箱中的油量均不能
为负数！
解
:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
探究新知
解
:
y=2x+15
x≥1且为整数
x ≠ －1
5.函数 中，自变量x的取值范围是
_____________.
4.某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今
后每年增加2万元，，年产值y（万元）与年数x的
函数关系式是________,其中自变量的取值范围是
_______________.
巩固练习
1. （2019•内江）在函数 中，自变量x的取
值范围是（ ）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3
C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
巩固练习
连 接 中 考
D
巩固练习
连 接 中 考
D
2.（2019•柳州）已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平
均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余
下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝4x（x≥0） B．y＝4x﹣3（ ）
C．y＝3﹣4x（x≥0） D．y＝3﹣4x（ ）
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
C
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.下列函数中自变量x的取值范围是什么？
基 础 巩 固 题
课堂检测
（1）
（2）
（3）
（4）
解
:
x取全体实数（1）
（4）
（2） 由x+2≠0得 x≠-2
（3） 由x-5≥0得
所以x≥-2且x≠-1
4.填表并回答问题：
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗
？答： .
（2）y是x的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y=+2x 2和－2 8和－8 18和－18 32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
基 础 巩 固 题
课堂检测
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，
请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y
（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应
的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y不是x的函数.
能 力 提 升 题
课堂检测
我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，
一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；
设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为
y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系
式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
拓 广 探 索 题
课堂检测
当x=2时，y=8； x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一
个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
课堂检测
拓 广 探 索 题
函数 函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
课堂小结
函数的
概念
在某个变化过程中，如果有两个变量x
与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与它对应，那么x是
自变量，y是x的函数.
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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