资料简介
19.3 课题学习 选择方案
人教版 数学 八年级 下册
导入新知
导入新知
1. 会用一次函数知识解决方案选择问题，体
会函数模型思想．
2. 能从不同的角度思考问题，优化解决问题
的方法.
素养目标
3. 能进行解决问题过程的反思，总结解决问
题的方法.
问题1 怎样选取上网收费方式
？
下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式.
选择哪种方式能节省上网费?
探究新知
知识点 1 选择方案选择方案
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元
/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？
上网费=月使用费+超时费
3.影响超时费的变量是什么？
4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？
没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关
探究新知
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元
/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时 A、B会变化，C不变
上网时间
5.设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函
数，要比较它们，需在 x > 0 时，考虑何时
（1） y1 = y2； （2） y1 < y2； （3） y1 > y2.
探究新知
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元
/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费
？
不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生．
合起来可写为：
当0≤x≤25时，y1=30
；
当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.
探究新知
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元
/min）
A 30 25 0.05
7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关
系式吗?
方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢?
当x≥0时，y3=120.
探究新知
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元
/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
8.当上网时间__________
时，选择方式A最省钱.
当上网时间__________时，
选择方式B最省钱.
当上网时间_________时，
选择方式C最省钱.
在同一坐标系画出它们的图象：
探究新知
1.谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人
们的广泛关注，人工智能完胜李世石，某教学网站开设了有关
人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x小时，方案A，B
的收费金额分别为yA元，yB元. (1)当x≥50时，分别求出yA，yB
与x之间的函数关系式；(2)若小明3月份上该网站学习的时间
为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算？
巩固练习
解：(1)当x≥50时，yA、yB与x之间的函数关系式分别为：
yA＝7＋(x－25)×0.6×60＝36x－893，
yB＝10＋(x－50)×0.8×60＝48x－2390.
(2)当x＝60时，
yA＝36×60－893＝1267，
yB＝48×60－2390＝490，
∴yA＞yB.
故选择B方式上网学习合算.
巩固练习
问题2 怎样租车？
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学
生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有
甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
探究新知
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
【讨论1】租车的方案有哪几种？
共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；
（3）甲种车和乙种车都租．
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名
学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现
有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
探究新知
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
【讨论2】如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
【讨论3】如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
探究新知
240÷30=8
【讨论4】要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除
哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租
乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
【讨论5】在讨论3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多
种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
探究新知
(1)为使240名师生有车坐，
可以确定x的一个范围吗？
(2)为使租车费用不超过2300元，
又可以确定x的范围吗？
结合问题的实际意义，你能有几种不同的租车方案?为节省
费用应选择其中的哪种方案？
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
x 辆 (6-x)辆
探究新知
x的取值范围为：
设租用 x 辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是 x 的函数，即
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
探究新知
x 辆 (6-x)辆
y=400x+280(6-
x)化简为：y=120x+1680
探究新知
y=120x+1680
方案一：当x=4时，即
租用4辆甲种汽车，2辆
乙种汽车
y=120×4+1680=2160
方案二：当x=5时，即
租用5辆甲种汽车，1辆
乙种汽车
y=120×5+1680=2280
除了分别计算两种
方案的租金外，还
有其他选择方案的
方法吗？
由函数可知 y 随
x 增大而增大，所
以 x = 4时， y
最小.
探究新知
归纳总结
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之
间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的
变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映
实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
例1 某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土
特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能
装运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种
型号汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题.
探究新知
素 养 考 点 1 利用一次函数解答方案选择问题
土特产种类 甲 乙 丙
每辆汽车运载量/吨 8 6 5
每吨土特产获利/百元 12 16 10
(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数
为y，求y与x之间的函数关系式；
(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排
方案有几种？并写出每种安排方案；
(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并
求出最大利润的值.
探究新知
解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝20－3x；
(2)由x≥3，y≥3，(20－x－y)≥3，
把y＝20－3x代入，可得x≥3，y＝20－3x≥3，
20－x－(20－3x)≥3，可得 ，
又∵x为正整数，∴x＝3,4,5.故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆；
方案二：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆；
方案三：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆.
探究新知
(3)设此次销售利润为W元，
W＝8x·12＋6(20－3x)·16＋ 5· 2x · 10
＝－92x＋1920，
∵W随x的增大而减小，又x＝3,4,5.
∴当x＝3时，W最大＝1 644(百元)＝16.44万元
答：要使此次销售获利最大，应采用(2)中方案一，即甲种3
辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元.
探究新知
解
:
1000
2000
500 1500
1000 2000
2500x(km)
y(元
)
0
y1
y2
2.某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的
一家签订合同. 设汽车每月行驶 x km，应付给个体车主的月租费
是y1元，付给出租公司的月租费是y2 元，y1，y2 分别与x之间的函
数关系图象是如图所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：
(1)每月行驶的路程在什么范围内，租国有出租公
司的出租车合算？
(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用
相同？
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，
那么这个单位租哪家的车合算？
当0＜x＜1500时，租国有的合算.
当x=1500时，租两家的费用一样.
租个体车主的车合算.
巩固练习
（2018•天津）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式
一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证
游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元
．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．
（I）根据题意，填写下表：
巩固练习
连 接 中 考
游泳次数 10 15 20 … x
方式一的总费用（元） 150 175 …
方式二的总费用（元） 90 135 …
200
180
100+5x
9x
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费
方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
巩固练习
连 接 中 考
（II）方式一：令100+5x=270，解得：x=34，
方式二：令9x=270，解得：x=30；∵34＞30，
∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多；
（III）令100+5x＜9x，得x＞25，
令100+5x=9x，得x=25，令100+5x＞9x，得x＜25，
∴当20＜x＜25时，小明选择方式二的付费方式，
当x=25时，小明选择两种付费方式一样，
但x＞25时，小明选择方式一的付费方式．
解
:
1.暑假老师带领该校“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：
“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行
社说：“包括校长在内，全部按全票的6折优惠.”若全票为
240元.(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y1，乙旅行社收费为
y2，则y1＝_____________，y2＝_____________.
(2)当学生有_______人时两个旅行社费用一样.
(3)当学生人数___________时甲旅行社收费较少.
240＋120x 144＋144x
4
大于4人
基 础 巩 固 题
课堂检测
2．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与
销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法, 其中正确的说法
有 ．（填序号）
①售2件时甲、乙两家售价一样；
②买1件时买乙家的合算；
③买3件时买甲家的合算；
④买1件时，售价约为3元.
①
课堂检测
基 础 巩 固 题
② ③
1
2 x
y
o
2
3
4
1 3
甲
乙
3.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分；
B方案： 零月租费，通话费为0.3元/分.
（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（分）
之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方
式合算？
课堂检测
基 础 巩 固 题
解：（1）A方案：y1=15+0.2t（t≥0），B方案：y2=0.3t（t≥0）.
（2）这两个函数的图象如下：
t（分）O 50 150100
10
20
y（元）
50
30
40
●
●
y1 = 15+0.2t y2 = 0.3t
●
观察图象，可知：当通话时间为
150分时，选择A或B方案费用一样；
当通话时间少于150分时，选择B方
案合算；
当通话时间多于150分时，选择A方
案合算.
课堂检测
基 础 巩 固 题
抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输
送饮用水，其中江津每天输出60车饮用水，白沙每天输出40车
饮用水，供给中山和广兴各50车饮用水.由于距离不同，江津到
中山需600元／车，到广兴需700元／车；白沙到中山需500元／
车，到广兴需650元／车．请你设计一个调运方案使总运费最低
？此时总运费为多少元？
能 力 提 升 题
课堂检测
广兴
50车
中山
50车
江津
60车
白沙
40车
(50－x)
(60－x)
x
650
500
700
600
解：设每天要从江津运x车到中山，总运费为y元．由题意可得
y=600x+700(60－ x)+500(50 －x)+650(x－10)
y=50x+60500
(x－10)
课堂检测
能 力 提 升 题
由 得
∵ k＝50＞0, y随x的增大而增大
∴当x＝10时，y有最小值, y=61000.
答:从江津调往中山10车，从江津调往广兴50车，从白沙调往中
山40车，从白沙调往广兴0车，可使总费用最省，为61000元．
∴
课堂检测
能 力 提 升 题
某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型
挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过
22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所
生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生
产成本和售价如下表所示:
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
拓 广 探 索 题
课堂检测
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型
挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得
最大利润？（注：利润=售价-成本）
分析：可用信息：①A、B两种型号的挖掘机共100台；
②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元；
③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出.
课堂检测
拓 广 探 索 题
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-
x）台，由题意知：
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
分析：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-
x）台，由题意得不等式组 ；
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；
A型40台， B型60台.
解得 37.5≤x≤40 ∵x取正整数, ∴x为38、39、40
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴当x=38时，W最大=5620 （万元），即生产A型38台，B型
62台时，获得利润最大.
（2）该厂如何生产获得最大利润？
分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖
掘机数量的函数关系式;
W=50x＋60（100－x）
= －10x＋6000
解：设获得利润为W（万元），由题意知：
课堂检测
拓 广 探 索 题
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型
挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最
大利润？
③当m＞10时，取x=40，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.
分析：在（2）的基础上，售价改变，则应重新建立利润与
挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m的取值范围.
解：由题意知：W=（50+m）x+60（100-x）= (m-10)x+6000
∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等；
课堂检测
拓 广 探 索 题
实际问题 函数问题设变量
找对应关系
函数问题的解实际问题的解 解释实
际意义
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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