资料简介
16.3二次根式的加减
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
二次根式的加减运算
第一课时
返回
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能
根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
导入新知
1. 理解二次根式可以合并的条件.
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.
素养目标
2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减
运算法则.
a a
a
a
a a a
a
aa
=+
在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得 ;
当a= 时，分别代入左右得 ;......
知识点 1 二次根式可以合并的条件二次根式可以合并的条件
探究新知
你发现了
什么？
因为 ，由前面知两者可以合并.
当a= ,b= 时，得2a+3b= .
a
2a+3b
b
=+
b
b
a
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被
开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
探究新知
这两个二次根
式可以合并吗
？
你又有什么发现吗?
探究新知
归纳总结
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，
则这样的二次根式可以合并.
注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化
为最简二次根式再判断.
2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)
相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
D
2.下列二次根式，不能与 合并的是________(填
序号）.
②
巩固练习
⑤
例1 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
即
探究新知
素 养 考 点 1 利用二次根式可以合并的条件求字母的值
提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开
方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可
.
解得
1
（1） 与最简二次根式 能合并，则m =_____.1
巩固练习
（2）若两个最简二次根式 与 可
以合并,则a=_____，b=_______.
3.完成下列各题：
1
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，
在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和
?
S=8dm2 S=18dm2
知识点 2 二次根式的加减
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中
各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正
方形木板．
解：列式如下： 在有理数
范围内成立的
运算律，在实
数范围内仍然
成立.
探究新知
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质 分配律 整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则
: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成
最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
解：
例2 计算:
素 养 考 点 1 二次根式的加减计算
（3） （4）
（1）
（1）
（2）
（2）
（3）
（4）
探究新知
4.下列计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
C
5.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其
周长为______.
巩固练习
例3 计算:
解：
探究新知
素 养 考 点 2 二次根式的加减混合运算
（1） （2）
（1） （2）
计算时，有括
号，一定要先
去括号！
6.计算
(1) ；
解：原式 解：原式
（2） .
巩固练习
例4 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.
解：①当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
素 养 考 点 3 二次根式的综合性题目
探究新知
7. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2
，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
巩固练习
解：
答：圆环的宽度d为 cm.
R-r
1.（2018•曲靖）下列二次根式中能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
连 接 中 考
B
2.（2019•兰州）计算： ＝（ ）
A． B． C．3 D．
A
D
基 础 巩 固 题
1. 与 能合并的二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
C
课堂检测
3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周
长为__________.
4.计算: （1） =___
（2） =___
（3） =___
（4） =_________
基 础 巩 固 题
课堂检测
解：
5.计算:
(1) (2)
(1) (2)
基 础 巩 固 题
课堂检测
6.如果最简二次根式 与 可以合并，那么要
使式子 有意义，求x的取值范围.
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
基 础 巩 固 题
课堂检测
已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：
课堂检测
能 力 提 升 题
∵ 即a＜c＜b，
又∵ ∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，
求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
拓 广 探 索 题
课堂检测
二次根式
加 减
法 则
注 意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式加减时，
可以先将二次根式化成最简二次
根式，再将被开方数相同的二次
根式进行合并.
运算律仍然适用
与 实 数 的 运 算
顺 序 一 样
课堂小结
二次根式的混合运算
第二课时
返回
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
你能用字母表示这一结论吗？
思路： 单×多 转 化
分配律
单×单
m(a+b+c) = ma+mb+mc
导入新知
【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同
学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺
序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然
适用.
1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行
二次根式的混合运算.
素养目标
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体
现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算二次根式的混合运算
素 养 考 点 1 考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力
（1） （2）
（1） （2）
巩固练习
1.计算：（1） （2）
(1)原式解： (2)原式
例2 计算：
解：（1）原式
【思考】（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式乘多项式法则；
第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数
相同的二次根式；
第三步的依据是：合并同类项．
（1）
探究新知
素 养 考 点 2 考查二次根式的多项式乘法运算能力考查二次根式的多项式乘法运算能力
2.计算：
巩固练习
（1） （2）
解：（1） （2）
回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.
回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
探究新知
知识点 2 利用乘法公式计算二次根式利用乘法公式计算二次根式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.
例3 计算：
解：
探究新知
素 养 考 点 1 考查利用乘法公式计算二次根式的能力
（1） （2）
（1） （2）
拓展计算：
解：(1)原式
(2)原式
探究新知
（1）
（2）
3. 计算：
巩固练习
（1）
解：（1）
（2）
（2）
例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
探究新知
有关代数式的二次根式运算素 养 考 点 2
解:∵ ，
巩固练习
∴
4. 已知 ，求x3y+xy3.
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]∴
在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分
母的二次根式的方法，比如:
【思考】 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，
如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
知识点 3 分母有理化
探究新知
根据整式的乘法公式在
二次根式中也适用，你
能想到什么好方法吗？
例4 计算:
解:
探究新知
素 养 考 点 1 分母有理化的应用
提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
（1） （2）
（1）
（2）
5. 已知 ,求 .
解:∵
巩固练习
巩固练习
连 接 中 考
3
1.（2018•天津）计算 的结果
等于______．
2.（2019•常州）下列各数中与 的积是有理数
的是（ ）
A． B．2 C． D．
D
1.下列计算中正确的是（ ）B
2.计算： 5
3.设 则a b(填“>”“ < ”或 “= ”）. = 基 础 巩 固 题 课堂检测
4.计算：
解：
（1） （2）
基 础 巩 固 题
课堂检测
（1） （2）
（4）（3）
解：原式=
=9-3 =6
解：原式=
（5）
基 础 巩 固 题
课堂检测
解：原式
解：(1)原式
(2)原式
5.计算：
（1）
（2）
基 础 巩 固 题
课堂检测
甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路
基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m
的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基
的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少
立方米呢？
能 力 提 升 题
课堂检测
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以
路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
能 力 提 升 题
课堂检测
1.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.
解：
拓 广 探 索 题
课堂检测
2.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方
法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
拓 广 探 索 题
课堂检测
解：(1)
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
课堂检测
拓 广 探 索 题
(2)
二 次 根
式 混 合
运 算
乘 法 公 式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
查看更多
