资料简介
17.1 勾股定理
第一课时
第二课时
第三课时
人教版 数学 八年级 下册
勾股定理
第一课时
返回
数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.
导入新知
你知道这是
为什么吗？
1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理
的内容，会用面积法证明勾股定理.
2. 能用勾股定理解决一些简单问题.
素养目标
3. 通过利用勾股定理解决简单问题，体会数形结
合的思想.
相
传
两
千
五
百
年
前，
一
次
毕
达
哥
拉
斯
去
朋
友
家
作
客，
发
现
朋
友
家
用
砖
铺
成
的
地
面
反
映
直
角
三
角
形
三
边
的
某
种
数
量
关
系，
同
学
们，
我
们
也
来
观
察
一
下
图
案，
看
看
你
能
发
现
什
么
数
量
关
系
？
探究新知
知识点 1 勾股定理的认识与证明勾股定理的认识与证明
AA B
CC
2.由这三个正方形A，B
，C的边长构成的等腰
直角三角形三条边长度
之间有怎样的特殊关系
？
【思考】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
SA+SB=SC
探究新知
（图中每个小方格是1个单位面积）
A中含有____个小方格，即
A的面积是 个单位面积．
B的面积是 个单位面积．
C的面积是 个单位面积．
9
9
18
9
A
B
C
图1结论：图1中三个正方形A，
B，C的面积之间的数量关
系是: SA+SB=SC
【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
探究新知
【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？
A
B
C
图2
结论：仍然成立。
A的面积是 个单位面积．
B的面积是 个单位面积．
C的面积是 个单位面积．25
16
9
（图中每个小方格是1个单位面积）
探究新知
你是怎样得到
正方形C的面积
的？与同伴交
流交流．
A
B
C问题2 式子SA+SB=SC能用直角三
角形的三边a、b、c来表示吗?
问题4 那么直角三角形三边a、b
、c之间的关系式是:
a
b
c
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正
方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
问题1 去掉网格结论会改变吗？
问题3 去掉正方形结论会改变吗？
探究新知
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
a
b
c
猜想：
拼图证明
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和
猜想还不能把问题彻底搞清楚.
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一
起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
探究新知
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两
个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能
做到吗？试试看.
赵爽拼图证明法：
c
图1
黄实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
图2
c
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方
形，拼成一个新的正方形.
探究新知
黄实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
b a
〓
M NP
剪、拼过程展示：
探究新知
“赵爽弦图”
黄实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
朱实朱实
c
a
b
探究新知
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图
示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
cc
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2
.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
a
a
b
b
c
c ∴a2 + b2 = c2
.
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
证明： ∵
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别
为a、b,斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
a
b
c
勾
股
弦
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则
探究新知
A
B
C
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关
系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
cb
a
a2 + b2 =c2
a2=c2－b2 b2 =c2-a2
探究新知
公式变形
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
=625
225
400
A
225
81
B=144
巩固练习
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”
，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角
边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾 股
勾2+股2=弦2
探究新知
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C A
B
利用勾股定理求直角三角形的边长素 养 考 点 1
c
b
a
探究新知
2. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得52+122=c2
c=13
解：由勾股定理得62+b2=102
b=8
解：由勾股定理得a2+152=252
a=20
a
c
b
巩固练习
a
b
c
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
例2 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
解得
提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，
要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
探究新知
勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长素 养 考 点 2
（舍去）
（舍去）
3.求出下列直角三角形中未知边的长度：
6
8
x
5
x
13
解：（1）由勾股定理得：
=36+64
=100
x2=62+82
x=10
∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
=169-25
=144
x=12
（2）由勾股定理得：
巩固练习
1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
巩固练习
连 接 中 考
A
2.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若
EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A． B．3 C． D．5
B
1. 若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长
为（ ）
A.7或1 B. C. 5或 D.15或12
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另
一直角边长为（ ）
A.8 B.40 C.50 D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则a=
_____，b = ______.
C
A
60 80
课堂检测
基 础 巩 固 题
A
B
C
D
7cm
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面
积之和为___________cm2 ．49
课堂检测
基 础 巩 固 题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，
当BC为斜边时，如图，
4
3A C
B
4
3
C A
B
图 图
提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边
时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下
一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
BC
3
4
提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的
积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
课堂检测
拓 广 探 索 题
勾股定理
内 容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为
直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注 意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还
是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
证 明
构造直角三角形解决实际问题
第二课时
返回
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
导入新知
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
2. 能应用勾股定理解决简单的实际问题.
1. 能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
素养目标
3. 从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中
的有关问题.
一个门框的尺寸如图所示，一块
长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否
从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
探究新知
知识点 1 勾股定理解决线段长度问题勾股定理解决线段长度问题
【思考
】1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
不能
3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
探究新知
小于AC即可
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
AC= ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
探究新知
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC
方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距
离（结果取整数）.
解:
巩固练习
≈57m
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙
AO上，这时AO 为2.4米．
（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5
米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
知识点 2 勾股定理解决线段移动问题勾股定理解决线段移动问题
探究新知
C
O DB
A
（2）在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.
解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.
OB=1.
探究新知
答：梯子的底端B距墙角O为1米.
答：梯子底端B也外移约0.77米.
2.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今
有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，
水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题.
译：有一个水池，水面是一个边
长为10尺的正方形，在水池正中
央有一根芦苇，它高出水面一尺
.如果把这根芦苇拉向水池一边
的中点，它的顶端恰好到达池边
的水面。这个水池的深度与这根
芦苇的长度分别是多少？ A
B C
巩固练习
A
B C 解：设AB=x,则AC=x+1，
有 AB2+BC2=AC2，
可列方程，得 x2+52=（x＋1）2 ，
解方程得x=12.
因此x+1=13
巩固练习
答：这个水池的深度是12尺，
这根芦苇的长度是13尺.
巩固练习
连 接 中 考
C
1.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，
现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它
爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离
为线段AC的长． 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为
底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC= ，
故选：C．
巩固练习
连 接 中 考
5
2.（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长
为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至
少有_____cm．
解析：由题意可得：杯子内的筷子长度最长为： ＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度最少为：20﹣15＝5（cm）．
1.求出下列直角三角形中未知的边.
AC=8 AB=17
课堂检测
基 础 巩 固 题
A
B
C
6 10
A
B
C
8 15
A
B
C
2
30° AB
C
2
45°
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，
则以斜边为边长的正方形的面积为 .15
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)
和B(0，4)，求这两点间的距离.
解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4
∴A、B两点间的距离为 .
∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41
∴AB= .
4.一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处.
木杆折断之前有多高？
解：由题意可知，在Rt△RPQ中，
∵PR=3，PQ=4，
∴RQ2＝PR2+PQ2＝32+42＝25
∴RQ＝5，PR+RQ＝3+5＝8
∴木杆折断之前有8m高.
课堂检测
基 础 巩 固 题
R
P Q
5.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A
，CB⊥AB于B，已知DA=15km, CB=10km，现在要在铁路AB上建
一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站
应建在离A站多少km处？ C
A E B
D
x 25-x
解：设AE= x km，
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即 152+x2=102+（25-x）2
答：E站应建在离A站10km处.
∴ x=10
则 BE=（25-x）km
15
10
课堂检测
基 础 巩 固 题
在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC
的周长为( )
A.32 B.42
C.32或42 D.以上都不对
C
解析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此
时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图②，CD在△ABC 外部
时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综
上所述，△ABC的周长为32或42.故选C.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着
正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
A.3 B . C.2 D.1
A
B
A
BC
2
1
提示： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形（如图）.
B
课堂检测
拓 广 探 索 题
2
1
化非直角三角形为直角三角形
将实际问题转化为直角三角形模型
课堂小结
勾股定理
的应用
利用勾股定理作图或计算
第三课时
返回
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
导入新知
这个图是怎样
绘制出来的呢
？
2. 能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.
1. 会用勾股定理解决简单的实际问题，建立数
形结合的思想.
素养目标
3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理
解决相应的折叠问题.
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条
直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你
能证明这一结论吗？
知识点 1
探究新知
证明证明“HL”“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′ C′中，
∠C=∠C′=90°，AB=A′B ′，AC=A′C′ ．
求证：△ABC≌△ A′B′ C′ ．
A
BC
A
BC′
′
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B′ C′中，∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理，得
A
B C
A
BC′
′
′
∵ AB=A′B′ ,
AC=A′C′ ,
∴ BC=B′C′ ．
∴ △ ABC≌ △A ′B′ C′ （SSS）．
探究新知
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？
用同样的方法作 呢？
探究新知
知识点 2 利用勾股定理在数轴上确定无理数利用勾股定理在数轴上确定无理数
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数
轴上画出表示该无理数的点.
【讨论】根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
√ √
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三
角形的斜边吗？
探究新知
0 1 2 3 4
步骤：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 的点.
O
探究新知
也可以使OA=2
，AB=3，同样
可以求出C点.
探究新知
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴
存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边
的点表示是正无理数.
0 1 2 3 4
l
A
B
C
探究新知
利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 素 养 考 点 1
例1 在数轴上作出表示 的点.
作法：
（1）在数轴上找到点A，使OA=1；
（2）过点A作直线垂直于OA，在直线上取点B,
使AB=4，那么OB= ；
（3）以原点O为圆心，以OB为半径作
弧，弧与数轴交于点C，则OC= .
如图，在数轴上，点C为表示 的点.
1.如图，点A表示的实数是 （ ）
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以
点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M
表示的数为（ ）C
D
巩固练习
在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请
在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B B
B
探究新知
知识点 3 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段
A . A . A .
A
【想一想】如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点
,你能画出几条边长为 的线段?
探究新知
小结：勾股定理与网
格的综合求线段长时，
通常是把线段放在与
网格构成的直角三角
形中，利用勾股定理
求其长度.
例2 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻
度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段
？
解：如图所示，有8条.
素 养 考 点 1 利用勾股定理在网格上作线段
探究新知
一个点一个点地
找，不要漏解.
3.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边
长均为1，画出一个三角形的长分别为 .
A
B
C解：如图所示.
巩固练习
A′
B′
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折
叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，
求AM的长.
解：连接BM，MB′.设AM＝x，
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
探究新知
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方
程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
4. 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的
F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
DA
B C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得
BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理
得x2+ 42=(8－x)2，
解得 x=3. 即EC的长为3cm.
巩固练习
（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B
（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负
半轴于点C，则点C坐标为_________．
巩固练习
连 接 中 考
(-1，0)
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴
上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴
的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离
为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
B
课堂检测
D
基 础 巩 固 题
2.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个
顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝ ；再过P1
作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝ ；又过P2作P2P3⊥OP2且
P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝______.
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基 础 巩 固 题
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点
D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
解：易证△AFD′≌△CFB(AAS)，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42，
∴S△AFC= AF•BC=10．
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基 础 巩 固 题
∴AF=AB-FB=8-3=5，解得x=3.
5.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，即-1到A的距离是
，
∴点A所表示的数为 .提示：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而
所表示的数不是斜边长.
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基 础 巩 固 题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这
个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形
网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC
（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不
需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
解：
能 力 提 升 题
课堂检测
解：如图,
若△ABC三边的长分别为 (a＞0)，请利用图中的
正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求
出它的面积．
∴△ABC即为所求，
A
B
C
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拓 广 探 索 题
利用勾股
定理作图
或计算
在数 轴 上表 示 出
无 理 数 的 点
利用勾股定理解决
网 格 中的 问 题
利用勾股定理
解决折叠问题
及其他图形的
计算
通常与网格求线
段长或面积结合
起来
通常用
到方程
思想
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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