资料简介
17.2勾股定理的逆定理
第一课时
第二课时
（1）
（2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
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勾股定理的逆定理
第一课时
返回
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子
分成等长的12段,然后以3个结，
4个结，5个结的长度为边长，
用木桩钉成一个三角形，其中
一个角便是直角.
导入新知
1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆
命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.
2. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定
理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
素养目标
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角
.
这种方法对吗？
探究新知
知识点 1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究新知
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分
别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
探究新知
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
探究新知
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么
这个三角形是直角三角形.
探究新知
我觉得这个猜想不
准确，因为测量结
果可能有误差.
我也觉得猜想不严
谨，前面我们只取
了几组数据，不能
由部分代表整体.
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且
A
B
b
c
a
b
证明：作∆A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
Ca
求证：∠C=90°
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
∠C=∠ =90°
探究新知
B
A
B1C1=a，C1A1=b
A1B1
2=B1C1
2+C1A1
2=a2+b2
∵a2+b2=c2 ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1
≌∴∆ABC ∆A1B1C1
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
探究新知
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2
，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
bc
CaB
A
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定
定理，即已知三角形的三边长，且满足两条
较小边的平方和等于最长边的平方，即可判
断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的
角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三
角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
探究新知
素 养 考 点 1 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
∴152+82=172， 根据勾股定理
的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
∴132+142≠152， 不符合勾股定
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D.
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A.三个内角比为1：2：1 B. 三边之比为1：2：
C.三边之比为 D. 三个内角比为1：2：3
D
C
D
C
巩固练习
例2 若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，
试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
探究新知
素 养 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
3.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
巩固练习
探究新知
知识点 2 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直
角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，
40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，
这组数同样是勾股数.
4.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
巩固练习
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先
排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方
和即可.
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,
那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么
这个三角形是直角三角形.
看下边的两个命题：
探究新知
知识点 3 互逆命题和互逆定理
你发现了什么？
命题1：直角三角形 a2+b2=c2
命题2： 直角三角形a2+b2=c2
题设 结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题
.
发现1 两个命题的条件和结论如下所示：
发现2 两个命题的条件和结论有如下联系：
探究新知
归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，
也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，
那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股
定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其
中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
探究新知
5.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上．真命题． 任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
巩固练习
1. （2019•威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，
AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；
再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接
AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
巩固练习
连 接 中 考
B
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性.
(1)如果两个角是直角，那么它们相等.
(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(3)如果 ，那么a≥0.
解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.
(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题
.(3)如果a≥0，那么 .真命题.
课堂检测
基 础 巩 固 题
4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断
△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
课堂检测
基 础 巩 固 题
A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，
C地在B地的什么方向？
解：∵AB2+BC2＝122+52
=144+25=169，
AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，
且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜
边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂检测
拓 广 探 索 题
勾股定理
的逆定理
内 容
作 用 从三边数量关系判定一个三角
形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满
足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形.
注 意 最长边不一定是c， ∠C也不一
定是直角.
勾 股 数 一 定 是正 整 数
课堂小结
勾 股 数
互 逆 命 题 和 互 逆 定 理
勾股定理的逆定理的应用
第二课时
返回
N
EP
Q
R 12
工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所
示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定。你
能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺)
A
B C
导入新知
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用
一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，
这节课让我们一起来学习吧.
导入新知
2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的
认识.
1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
素养目标
3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数
学问题.
12
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号
每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口
一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航
”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
EP
Q
R
探究新知
知识点 1 利用勾股定理的逆定理解答角度问题利用勾股定理的逆定理解答角度问题
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
“远航”号的航向、两艘船的一个半
小时后的航程及距离已知，如下图.
12
N
EP
Q
R 16×1.5=2412×1.5=18
30 3.由于我们现在所能得到的都
是线段长，要求角，由此我们
想到利用什么思想？
要解决的问题是求出两艘
船航向所成角.
勾股定理逆定理
探究新知
【思考】2.需要解决的问题是什么？
转化的思想
4.知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以
利用什么转化呢？
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
EP
Q
R 12
探究新知
方法点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和
所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.
1.在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在
海面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后，一艘舰艇以16海里/
时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行，另一艘
舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，
已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航
行方向是北偏西多少度？
巩固练习
解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里，
OA＝16×1.5＝24海里，
又∵AB＝30海里，
∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°.
∵∠DOA＝40°，
∴∠BOD＝50°.
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
巩固练习
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD
= ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
C
B A
D
探究新知
知识点 2 利用勾股定理的逆定理解答面积问题利用勾股定理的逆定理解答面积问题
2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30
cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D C
B
A
巩固练习
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方
形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝
6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格
？ 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
知识点 3
探究新知
利用勾股定理的逆定理解答检测问题利用勾股定理的逆定理解答检测问题
3. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和
∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如
图所示,这个零件符合要求吗?
D
A B
C
4
3
5
13
12
D
A B
C
图 图
巩固练习
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A B
C
4
3
5
13
12
图
巩固练习
AB2+AD2=32+42=25=52=BD2
BD2+BC2=52+122=169=132=CD2
（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》
里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五
里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的
是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问
这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里
=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
巩固练习
连 接 中 考
A
B
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他
们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）D
A. B.
C. D.
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东
25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400
m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )
A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上
C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
基 础 巩 固 题
课堂检测
A
O B
4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻
行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行
驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2
秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
车速检测仪
小汽车
30米
30°
北
60°
解：小汽车在车速检测仪
的南偏东60°方向或北偏
西60°方向.
25米/秒=90千米/时>70千米/时
∴小汽车超速了.
2秒后
50米
40米
基 础 巩 固 题
课堂检测
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD
＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC
的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
能 力 提 升 题
课堂检测
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
能 力 提 升 题
课堂检测
A
D
B
C
3
4
13
12
如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点
A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点
B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm
，即AB+BC+AC=36cm，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，
BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴3x+4x+5x=36， 解得x=3.
P
C
BA
Q
勾股定理的逆
定理的应用
应 用
航海问题
方 法
认真审题,画出符合题意的图
形,熟练运用勾股定理及其逆
定 理 来 解 决 问 题
与勾股定理结合解决不规
则图形等问题
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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