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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版(2012) / 八年级下册 / 第十八章 平行四边形 / 18.2.2 菱形 / 人教版八年级数学下册18.2.2菱形课件

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18.2 特殊的平行四边形 18.2.2菱形 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 菱形的性质 第一课时 返回 下面的图形中有你熟悉的吗? 导入新知 越王勾践剑,一把在地下埋藏了2000多年的 古剑,出土时依然寒气逼人,毫无锈蚀,锋利无比, 稍一用力,便可将多层白纸划破,剑身上整齐排列 的黑色菱形暗花纹. 导入新知 菱形有哪 些性质呢 ? 1. 理解菱形的概念,会用菱形的性质解决简单 的问题.  2. 探索并证明菱形的性质定理. 素养目标 3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程,通过观 察、类比、猜想、证明等活动,体会几何图形 研究的一般步骤和方法. 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形,知道了如果平行四边 形有一个角是直角时,成为什么图形? (矩形,由角变化得到) 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相 等,这个特殊的四边形叫什么呢? 四边形 ? 探究新知 知识点 1 菱形的定义菱形的定义 在平行四边形中,如果内角大小保持不变仅改变 边的长度,能否得到一个特殊的平行四边形?``x``xk 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形邻边相等 探究新知 有一组 的 邻边相等 平行四边形叫做 A D C B ∵四边形ABCD是平行四边形,   AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 菱形. 探究新知 菱形的定义: 几何语言: 菱形就在我们身边! 探究新知 三菱汽车标志欣赏 探究新知 可以这样做:将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿 图中的虚线剪下,打开即可.你知道其中的道理吗? 如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形 的纸片? 做一做: 探究新知 知识点 2 菱形边的性质菱形边的性质 画出菱形的两条折痕,并 通过折叠手中的图形回答以 下问题: 探究新知 问题:菱形的四条边在数量上有什么关系? 猜想:菱形的四条边都相等. 已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD ,对角线AC与BD相交于点O. 求证:AB = BC = CD =AD; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB = CD,AD = BC(平行四边形的对边相等). 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B CO D 探究新知 探究新知 菱形的性质: 菱形的四条边都相等. B D A C 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 1.已知菱形的周长是36cm,那么它的边长是______. 巩固练习 9cm 2.已知一个正方形花坛的周长是48m,菱形花坛的边 长是正方形花坛边长的2倍,则菱形花坛的周长是( ) A.24m           B.12m            C.96m             D.48m C 观察:将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚 线剪下,打开即得一个菱形. 探究新知 知识点 3 菱形对角线的性质菱形对角线的性质 操作:在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图 形(如图),并回答以下问题: 问题1 :菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是,两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2:根据上面折叠过程,菱形的两对角线有什么关系? 猜想:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平 分一组对角. 探究新知 已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,对角线 AC与BD相交于点O. 求证:AC⊥BD;∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,     ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. A B CO D 探究新知 证明:∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD, ∴AO⊥BD,AO平分∠BAD, 即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. 探究新知 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线 平分一组对角. B D A C 菱形的性质: 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ; BD平分∠ABC和∠ADC 对边相等 四个角都是直角 对角线互 相平分且 相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相 垂直平分,并且 每一条对角线平 分一组对角 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 比一比,猜一猜,填写下表: 探究新知 例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O, BD=12cm,AC=6cm,求菱形的周长. 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AO=   AC,BO=  BD. ∵AC=6cm,BD=12cm, ∴AO=3cm,BO=6cm. 在Rt△ABO中,由勾股定理得 ∴菱形的周长=4AB=4×       =        (cm). 探究新知 素 养 考 点 1 利用菱形的性质求线段的长 3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,已知AB=5cm, AO=4cm,求两对角线AC、BD的长. O C B D A 解:∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC,OB=OD AC⊥BD ∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2                  AB= 5,AO= 4 ∴OB= 3 ∴BD= 2OB = 6 cm, AC= 2OA = 8  cm. 5 4 3 巩固练习 例2 如图,E为菱形ABCD边BC上一点,且AB=AE, AE交BD于O,且∠DAE=2∠BAE,求证:OA=EB. A B C D O E 证明:∵四边形ABCD为菱形, ∴AD∥BC,AD=BA,∠ABC=∠ADC=2∠ADB , ∴∠DAE=∠AEB, ∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB, ∴∠ABC=∠DAE,  ∵∠DAE=2∠BAE,  又∵AD=BA , ∴△AOD≌△BEA , 素 养 考 点 2 利用菱形的性质求证线段相等 探究新知 ∴AO=BE . ∴∠BAE=∠ADB. 4. 如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F ,求证:AE=AF. 证明:连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD, 即∠BAC=∠DAC.    ∵CE⊥AB,CF⊥AD,    ∴∠AEC=∠AFC=90°. 又∵AC=AC,    ∴△ACE≌△ACF.  ∴AE=AF. 巩固练习   菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积呢? 菱 形 A B C DO E 【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角 线能计算菱形的面积吗? 探究新知 知识点 4 菱形的面积 S菱形=BC× AE 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,试用 对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C DO 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD =   S△ABC +   S△ADC =    AC·BO+   AC·DO =     AC(BO+DO) =   AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 探究新知 例3 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长 和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m2). A   B   C   D  O   解:∵花坛ABCD是菱形, 探究新知 素 养 考 点 1 利用菱形的面积公式解答问题 在Rt△OAB中, 5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和 8cm,求菱形面积. C B D A O 解: 巩固练习 O (cm2) 1.(2018•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的 长分别为6和8,则这个菱形的周长是(  ) A.20                      B.24 C.40                      D.48 巩固练习 连 接 中 考 A O D C A B 巩固练习 连 接 中 考 证明:∵四边形ABCD是菱形,             ∴AD=CD, 在△ADF和△CDE中,             ∴△ADF≌△CDE(SAS),             ∴∠1=∠2. 2.(2019•岳阳)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为 AD、CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2. AD=CD, ∠D=∠D, DF=DE, 1.如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm, 则这个菱形的高DE为(  ) A.2.4cm      B.4.8cm       C.5cm           D.9.6cm B 2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABD 的周长等于(  ) A.18           B.16          C.15           D.14 B 课堂检测 基 础 巩 固 题 3.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD 的周长是 (  )    A.10               B.12                C.15                   D.20 C 4.如图,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC、BD相交于O点, E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长为_______. 第3题图 第4题图 6cm 课堂检测 基 础 巩 固 题 A B C D O A B C DE 5.如图,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在 △AOB中,OA=5,OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解:在Rt△AOB中,OA=5,OB=12, ∴S△AOB=   OA·OB=   ×5×12=30, ∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120. ∵ 又∵菱形两组对边的距离相等, ∴S菱形ABCD=AB·h=13h,∴13h=120,得h=       . 课堂检测 基 础 巩 固 题 A B C DO 如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,周 长是8cm.求: (1)两条对角线的长度; (2)菱形的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2, ∴∠ABC=    ×180°=60°,∴∠ABO=    ×∠ABC=30°,△ABC是 等边三角形. 课堂检测 能 力 提 升 题 O A B C D ∴OA=    AB=1cm,AC=AB=2cm, ∴BD=2OB=       cm; (2)S菱形ABCD=     AC•BD =      ×2×                                 =      (cm2). 课堂检测 能 力 提 升 题 ∵菱形ABCD的周长是8cm. ∴AB=2cm, O A B C D 如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.  求证:∠AFD=∠CBE.  证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴CB=CD, CA平分∠BCD. ∴∠BCE=∠DCE. 又 CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS). ∴∠CBE=∠CDE. ∵在菱形ABCD中,AB∥CD,  ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE. A D C B F E 课堂检测 拓 广 探 索 题 菱形的 性质 菱 形 的 性 质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角 线乘积的一半 角 对 角 线 1.两组对边平行且相等; 2.四条边相等 两组对角分别相等, 邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分; 2.每一条对角线平分一组对角 课堂小结 菱形的判定 第二课时 返回 菱形的两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等边 对角线 角 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角。 A D C B O 导入新知 菱 形 的 性 质 怎样判断一 个四边形是 菱形? 2. 经历菱形判定定理的探究过程,渗透类比 思想,体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法,能根据不同的已 知条件,选择适当的判定定理进行推理和计算 . 素养目标 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法: ∵四边形ABCD是平行四边形 且AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 数学语言: 有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形. 还有其他的 方法吗? 探究新知 知识点 1 菱形的判定定理菱形的判定定理11 O A B C D 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小 钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做 成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱 形? 猜想: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究新知 求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:在                   中,AC ⊥ BDABCD 求证:  ABCD是菱形 A B C DO ∟ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD; ∴BA=BC 探究新知 ∴ ABCD是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言: ∵在□ABCD中,AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理1: 探究新知 A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∵ OA=4,OB=3,AB=5 , 即AC⊥BD, ∴ AB2=OA2+OB2, ∴△AOB是直角三角 形, ∴四边形ABCD是菱形. 探究新知 素 养 考 点 1 利用对角线判定菱形利用对角线判定菱形 例1 如图, ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O ,AB=5,AO=4,BO=3. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: 1.在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分, 若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这 个条件可以是 (   ) A.∠ABC=90°              B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB∥CD B 巩固练习 猜想:四条边都相等的四边形是菱形 . A  B  C D  李芳同学先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D 为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就 得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形? 探究新知 知识点 2 菱形的判定定理菱形的判定定理22 证明:∵AB=BC=CD=AD;                  ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证:四边形ABCD是菱形. 探究新知 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD A B C D 菱形ABCD四边形ABCD A B C D 菱形的判定定理2: 探究新知 几何语言: ∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD, ∴四边形 ABCD是菱形. 文字语言 图形语言 符号语言 判定 方法1 判定 方法2 判定 方法3 菱形的判定: A B C D ∵AB=BC=CD=D A ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 A B C DO A B C D      一组邻边相 等的平行四 边形是菱形 探究新知 对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形 四边相等的四 边形是菱形 H G F E D CB A 证明:连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点, ∴EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH是菱形. 例2 如图,顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH ,求证:四边形EFGH是菱形. 素 养 考 点 1 探究新知 利用边相等判断四边形是菱形利用边相等判断四边形是菱形 2.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC 于点O,CE∥AB交MN于点E,连接AE、CD. 求证:四边形ADCE是菱形. C A D O E M N ∵ MN是AC的垂直平分线 ∴AD=CD,OA=OC,AE=CE ∵ CE∥AB,∠DAO=∠ECO  ∴  △ADO ≌ △CEO ∴ AD=CE  ∴AD=CD=CE=AE ∴四边形ADCE是菱形 巩固练习 证明: B 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE, 延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. (1)求证:四边形BCFE是菱形; (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE∥BC且2DE=BC. 又∵BE=2DE,EF=BE, ∴EF=BC,EF∥BC, ∴四边形BCFE是平行四边形. 又∵EF=BE,∴四边形BCFE是菱形; 探究新知 知识点 3 菱形性质和判定的综合应用菱形性质和判定的综合应用 (2)解:∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°, ∴△EBC是等边三角形, 过点E作EH⊥BC, 则HE= ∴菱形的边长为4,高为         , ∴菱形的面积为                         . (2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积. 探究新知 H 探究新知 方法点拨 判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵 活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直 接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对 角线互相垂直,可以先尝试证出这个四边形是 平行四边形. 3.如图,在平行四边形ABCD中,AC平分 ∠DAB,AB=2,求平行四边形ABCD的周长. 解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠BAC=∠ACD, ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=DC,∴四边形ABCD为菱形, ∴四边形ABCD的周长=4×2=8. 巩固练习 A B C D (2019•兰州)如图,AC=8,分别以A、C为圆心,以长度5为半 径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A、B、C、D,连 接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由; (2)求BD的长. 巩固练习 连 接 中 考 解:(1)四边形ABCD为菱形; 由作法得AB=AD=CB=CD=5,所以四边形ABCD为菱形; (2)∵四边形ABCD为菱形, 在Rt△AOB中,OB=                  , ∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD, ∴BD=2OB=6. 1.下列命题中正确的是(        ) A.一组邻边相等的四边形是菱形  B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形      D.四个角相等的四边形是菱形 C 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD        D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD C 课堂检测 基 础 巩 固 题 24cm² 菱形 3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 6cm和8cm,则这个平行四边形为 ,其面积为 . A B C D E F 4.如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD. 则CE CF,BE DF. 课堂检测 = = 基 础 巩 固 题 证明:∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD,             ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) .            ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,            ∴四边形ABCD是菱形. 2 5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上, 且AE=AC,EF = ED. 求证:四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 课堂检测 基 础 巩 固 题 ∴CD=ED=CF=EF, 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.将 △ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对 应点分别是D,E,F,连接AD.求证:四边形ACFD是菱形. 由平移变换的性质得CF=AD=10cm,DF=AC. ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=DF=AD=CF=10cm, ∴四边形ACFD是菱形. 课堂检测 能 力 提 升 题 证明: 已知:如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD, BC分别交于E,F. 求证:四边形AFCE是菱形. A B F C DE O ∟ ∵EF垂直平分AC ∴AO=CO, ∠AOE=90° ∴∠FOC=∠AOE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC     ∴AE∥FC ∴∠AEO=∠CFO ∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF 又∵AO=CO ∴四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 课堂检测 拓 广 探 索 题 证明: 有一组邻边相等的平行四边形是 菱形. 对角线互相垂直的平行四 边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形 . 运用定理进行计算和证明 菱形的 判定 定义法 判定 定理 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 查看更多

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