资料简介
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2菱形
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
菱形的性质
第一课时
返回
下面的图形中有你熟悉的吗？
导入新知
越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的
古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，
稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列
的黑色菱形暗花纹.
导入新知
菱形有哪
些性质呢
？
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单
的问题.
2. 探索并证明菱形的性质定理.
素养目标
3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观
察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形
研究的一般步骤和方法.
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边
形有一个角是直角时,成为什么图形? (矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相
等,这个特殊的四边形叫什么呢?
四边形
?
探究新知
知识点 1 菱形的定义菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变
边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形邻边相等
探究新知
有一组 的 邻边相等 平行四边形叫做
A
D
C
B ∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形.
探究新知
菱形的定义：
几何语言：
菱形就在我们身边！
探究新知
三菱汽车标志欣赏
探究新知
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿
图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形
的纸片？
做一做：
探究新知
知识点 2 菱形边的性质菱形边的性质
画出菱形的两条折痕,并
通过折叠手中的图形回答以
下问题：
探究新知
问题：菱形的四条边在数量上有什么关系?
猜想：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD
，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AB = BC = CD =AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
CO
D
探究新知
探究新知
菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
B D
A
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.
巩固练习
9cm
2.已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边
长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（
）
A.24m B.12m C.96m D.48m
C
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚
线剪下，打开即得一个菱形.
探究新知
知识点 3 菱形对角线的性质菱形对角线的性质
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图
形(如图），并回答以下问题:
问题1 :菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2:根据上面折叠过程，菱形的两对角线有什么关系?
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平
分一组对角.
探究新知
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线
AC与BD相交于点O.
求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A
B
CO
D
探究新知
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
探究新知
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
B D
A
C
菱形的性质：
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC
对边相等
四个角都是直角
对角线互
相平分且
相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相
垂直平分，并且
每一条对角线平
分一组对角
平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表：
探究新知
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
探究新知
素 养 考 点 1 利用菱形的性质求线段的长
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,
AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
O C
B
D
A
解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD
AC⊥BD
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2
AB= 5，AO= 4
∴OB= 3
∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8
cm.
5
4
3
巩固练习
例2 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，
AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
素 养 考 点 2 利用菱形的性质求证线段相等
探究新知
∴AO＝BE .
∴∠BAE＝∠ADB.
4. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F
，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
巩固练习
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积呢?
菱
形
A
B
C
DO
E
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角
线能计算菱形的面积吗?
探究新知
知识点 4 菱形的面积
S菱形=BC× AE
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用
对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
DO
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿
着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长
和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
A
B
C
D
O
解：∵花坛ABCD是菱形，
探究新知
素 养 考 点 1 利用菱形的面积公式解答问题
在Rt△OAB中，
5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和
8cm，求菱形面积.
C
B
D
A
O
解：
巩固练习
O
(cm2)
1.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的
长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24
C．40 D．48
巩固练习
连 接 中 考
A
O D
C
A
B
巩固练习
连 接 中 考
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
2.（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为
AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
AD＝CD，
∠D＝∠D，
DF＝DE，
1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，
则这个菱形的高DE为（ ）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD
的周长等于（ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD
的周长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.20
C
4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，
E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第3题图 第4题图
6cm
课堂检测
基 础 巩 固 题
A
B
C
D
O
A
B C
DE
5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在
△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
课堂检测
基 础 巩 固 题
A
B
C
DO
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周
长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是
等边三角形.
课堂检测
能 力 提 升 题
O
A
B C
D
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD= AC•BD
= ×2×
= （cm2）．
课堂检测
能 力 提 升 题
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
O
A
B C
D
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂检测
拓 广 探 索 题
菱形的
性质
菱
形
的
性
质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角
线乘积的一半
角
对
角
线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，
邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
菱形的判定
第二课时
返回
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
导入新知
菱
形
的
性
质
怎样判断一
个四边形是
菱形？
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比
思想，体会研究图形判定的一般思路.
1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已
知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
素养目标
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
数学语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做
菱形.
还有其他的
方法吗?
探究新知
知识点 1 菱形的判定定理菱形的判定定理11
O
A
B C
D
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小
钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做
成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱
形?
猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
探究新知
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BDABCD
求证： ABCD是菱形
A
B
C
DO
∟
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
探究新知
∴ ABCD是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B C
D
菱形ABCD
A
B C
D
□ABCD
菱形的判定定理1：
探究新知
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5
，
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角
形，
∴四边形ABCD是菱形.
探究新知
素 养 考 点 1 利用对角线判定菱形利用对角线判定菱形
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O
，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这
个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB∥CD
B
巩固练习
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
A B
C D
李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D
为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就
得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
探究新知
知识点 2 菱形的判定定理菱形的判定定理22
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
探究新知
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD A
B C
D
菱形ABCD四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理2：
探究新知
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
文字语言 图形语言 符号语言
判定
方法1
判定
方法2
判定
方法3
菱形的判定：
A
B C
D
∵AB=BC=CD=D
A
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B C
DO
A
B C
D
一组邻边相
等的平行四
边形是菱形
探究新知
对角线互相垂直
的平行四边形是
菱形
四边相等的四
边形是菱形
H
G
F
E D
CB
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形.
例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH
，求证：四边形EFGH是菱形.
素 养 考 点 1
探究新知
利用边相等判断四边形是菱形利用边相等判断四边形是菱形
2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC
于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O E
M
N
∵ MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD，OA=OC，AE=CE
∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO
∴ △ADO ≌ △CEO
∴ AD=CE
∴AD=CD=CE=AE
∴四边形ADCE是菱形
巩固练习
证明：
B
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，
延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
探究新知
知识点 3 菱形性质和判定的综合应用菱形性质和判定的综合应用
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
过点E作EH⊥BC, 则HE=
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
探究新知
H
探究新知
方法点拨
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵
活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直
接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对
角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是
平行四边形．
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分
∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
巩固练习
A
B
C
D
（2019•兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半
径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连
接BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长．
巩固练习
连 接 中 考
解：（1）四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
在Rt△AOB中，OB＝ ，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∴BD＝2OB＝6．
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
C
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
24cm²
菱形
3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为
.
A
B C
D
E
F
4.如图，在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
则CE CF，BE DF.
课堂检测
＝ ＝
基 础 巩 固 题
证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形.
2
5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,
且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C B
E
D
F
1
课堂检测
基 础 巩 固 题
∴CD=ED=CF=EF,
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将
△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对
应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
课堂检测
能 力 提 升 题
证明：
已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，
BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形.
A
B F C
DE
O
∟
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴∠AEO=∠CFO
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF
又∵AO=CO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
课堂检测
拓 广 探 索 题
证明：
有一组邻边相等的平行四边形是
菱形.
对角线互相垂直的平行四
边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形
.
运用定理进行计算和证明
菱形的
判定
定义法
判定
定理
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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