资料简介
4.3
空间直角坐标系
主要内容
4.3.2 空间两点间的距离公式
4.3.1 空间直角坐标系
4.3.1
空间直角坐标系
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
直角坐标平面上的点M，可用
一对有序实数(x，y)表示．
xO
y
A
O xx
M
(x,y)
x
y
3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？
当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以
用有序实数（x，y，z）表示．
O y
x
z
M
x
y
z
（x，y，z）
y
x
z
如图， 是单位正方体．以O为原点，分
别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段OA,OC,
的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们
说建立了一个空间直角坐标系 ，其中点O 叫做坐标
原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平
面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
空间直角坐标系
A B
CO
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手
拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如
果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直
角坐标系．
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直
于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴
于点P、Q和R．
y
x
z
M’
O
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别
是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组
（x，y，z）．
M
R
QP
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以
在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q
和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、
y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组
（x，y，z）确定的点M．
y
x
z
M’
O
M
R
QP
y
x
z
P M’
QO
M
R
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y
，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此
空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中
x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M
的竖坐标．
y
x
z
A B
CO
OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点，分别以射
线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单
位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
(0，0，0)
(1，0，0) (1，1，0)
(0，1，0)
(1，0，1) (1，1，1)
(0，1，1)(0，0，1)
解： 在z 轴上，且 ，它的竖坐标是2；它的横坐
标x与纵坐标y都是零，所以点 的坐标是（0，0，2）．
点C 在y 轴上，且 ，它的纵坐标是4；它的横
坐标x与竖坐标z 都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．
同理，点 的坐标是（3，0，2）．·
O y
x
z
A
C
B
例1
O y
x
z
A
C
B
例1
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐
标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横
坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标
与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．
所以点B’的坐标是（3，4，2）．
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在
位置的坐标．
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为
1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1）,
（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），
（ ， ，1）．
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，
所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
（ ，0， ），（1， ， ），（ ，1， ），（0， ， ）；
下层的原子全部在平面上，它们所
在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠
原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，
（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,
（ ， ，0）. x
y
z
O
在空间直角坐标系中，x轴上的点、 y轴上的点、z轴
上的点，xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、
yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？
x轴上的点的坐标的特点：
xOy坐标平面内的点的特点：
xOz坐标平面内的点的特点：
yOz坐标平面内的点的特点：
y轴上的点的坐标的特点：
z轴上的点的坐标的特点：
Ｐ（x，0，０）
Ｐ（０，y，０）
Ｐ（０，0，z）
Ｐ（x，y，０）
Ｐ（０，y，z）
Ｐ（x，0，z）
归纳总结
知识小结
空间直角坐标系
点在空间直角坐标系中的坐标
1.学会建立空间直角坐标系
2.学会用空间直角坐标系表示空间点的坐标
4.3.2
空间两点间的距离公式
1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
问题提出
2.类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想
一下空间两点 间的距离公式
吗？
在长方体 中，对角线 的长为多少？
探究1：与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，
z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么
？|PM|,|OM|的值分别是什么？
x
y
z
O P
M
M(x,y,0)
|PM|=|z|
思考2:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，
z）与坐标原点O的距离公式吗？
x
y
z
O P
M
思考3:在空间直角坐标系中，方程
x2+y2+z2=r2 （r>0为常数）表示什么图形是
什么？
O
x
y
z
P
探究2：空间两点间的距离公式
思考1：设点 是空间中任意两
点，而且P1、P2在xOy平面上的射影分别为
M、N.则点M、N的坐标及它们之间的距离是
多少？
x
y
z
O
P2
M
P1
N
思考2:点P1、P2的距离如何计算？
M
N
x
y
z
O
P2
P1 A
查看更多
