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人教版高中必修4数学2.5.1平面几何中的向量方法ppt课件

2021-03-12
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2.5.1平面几何中的向量的方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。引入问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ A B CD猜想： 1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 BA D C分析涉及长度问题常常考虑向量的数量积 BA D C 解 ①+② 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍变式1、证明平行四边形两对角线互相平分 A B D C 例题 M 用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形想一想 A D C B E F R T 例2 如图,连接□ABCD的一个顶点至AD、DC 边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点, 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析: 由于AR,RT,TC在AC上, 只要判断AR,RT,TC与AC的关系 A B CD E F R T 解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；又因为解得第三步：把运算结果“翻译”成几何元素。 AR=RT=TC 平面几何简单定理（1）三角形中位线定理（2）勾股定理（3）圆周角定理 A B C O 练习证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为 ⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向量即解：设则，由此可得：即，∠ACB=90° 练习利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题你能从数学的角度解释这种现象吗？在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。例3 ～～（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？例4 思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗? 思考题解：|v|= = （km/h），所以 t= = ×60=3.1（min）. 答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min. 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢? （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ：小结物理问题 (实际问题）向量问题 (数学模型) 数学问题的解决解释和验证相关物理现象小结课本习题2.5A组第2题作业查看更多

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