资料简介
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形有哪些性质？
A
B C
D
两组对边分别平行的四边
形叫做平行四边形 .
O
①①对边平行，即AD∥BC， AB∥CD
②②对边相等， 即AB=CD， AD=BC
③③对角相等，即∠A=∠ C，∠B=∠D
④④对角线互相平分，即 AO=CO，
BO=DO
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半.
中位线定理：
如图，□ABCD是一个活动框架，改变这个平行
四边形的形状，你会发现什么?
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B C
D
O 角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等 ,邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
B
A D
C
自主探索
对称性: 矩形既是轴对称图形,也是中心对称形．
A
B C
D
探索矩形的对称性:
矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四
边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
矩形是轴对称图形
平行四边形是
轴对称图形吗?
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A
B C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
∵矩形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC ∠A=∠C ∠B=∠D
∴ ∠A +∠B =180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
说明：矩形的四个角都是直角
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
又∵AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC = BD。 说明：矩形的对角线相等
A
B C
O
得到：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言: ∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO= AC
在Rt△ABC中, BO= AC
在直角三角形ABC中，O是
AC中点，思考BO与AC的数
量关系
B
D
C
A
O
A
C
B
O
D
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩
形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样
的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
例 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=60°,AB=4 cm,求矩形对角线的长.
D
CB
A
o
60°
方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°
或120°,那么其中必有等边三角形
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(cm)
解：∵ 四边形ABCD是矩形
D
CB
A
O
×
√
×
√
√
练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定
相框为矩形的下列方法中哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩
形．（ ）
练习2 在“？”处填上恰当的条件：
四边形 平行四边形
矩形 ？ ？
？
练习3 已知:四边形ABCD是矩形
(1)若已知AB=8 cm，AD=6 cm，
则AC＝_______ cm，
OB=_______cm
(2)若已知 ∠DOC=120°，AC＝8 cm，则AD= _____cm，
AB= _____cm
O
D C
BA5
10
4
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等且互相平分
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
第18章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框
是矩形吗？
除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法
呢？
创设情景创设情景 明确目标明确目标
证明 逆命题
（修正）
问题2 你还记得学习平行四边形的判定时，我们
是如何猜想并进行证明的吗？
性质 猜想 判定定理
1．掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选
取适当的定理进行推理计算；
2．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比
思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路．
同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到
判定矩形的方法呢？
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．
猜想2 三个角是直角的四边形是矩形．
问题3 如何证明这两个猜想？
合作探究合作探究 达成目标达成目标
证明猜想
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．
在 ABCD中，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．
B C
D A
证明猜想
猜想2 有三个角是直角的四边形是矩形．
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
B C
D A
方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；
方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．
理一理
你能归纳矩形的判定方法吗？
练 习
×
√
×
√
√
练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定
相框为矩形的下列方法中哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩
形．（ ）
探究点二 矩形判定的运用
例 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A B
C D
O
在“？”号处填上恰当的条件：
四边形 平行四边形
矩形 ？ ？
？
总结梳理总结梳理 内化目标内化目标
一种学习方法
两个猜想证明
三种判定方法
1.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB
是等边三角形，且AB=4.求口ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形
ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB=
∴∠AOD=
又AO=DO ∴∠ADC=
∴四边形ABCD是矩形
AC=8 ，DC=4， AD=
∴平行四边形ABCD面积为
达标检测达标检测 反思目标反思目标
2、如图AC，BD是矩形ABCD的两条对
角线，AE=CG=BF=DH.求证：四边形
EFGH是矩形.
证明：∵ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD
OE=OA-AE，OG=OC-CG
∵AE=CG
∴OE=OG
OF=OB-OD，OH=OD-DH
∵BF=DH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵ABCD是矩形，
∴AC=BD
EG=AC-AE-CG
FH=BD-BF-DH
∴EG=FH
∴平行四边形EFGH是矩形
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