资料简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题 回忆勾股定理的内容．
形
数
学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－
论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题
的基本思想；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命
题不一定为真命题．
学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
逆向思考 提出问题
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是否是直角三角形？
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角
的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
A1
B1 C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？ 三角形全等 ∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B C a
b c
a
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角
三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1）a=15，b=17，c=8；
（2）a=13，b=15，c=14；
（3）a= ，b=4，c=5．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是
不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等
于最大边长的平方．
解：（1） ∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.
∴ 以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边
长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作
用？
（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你
能说出它们之间的关系吗？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历
了哪些过程？
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
说一说： 1.勾股定理的逆定理的内容是什么？
2.它与勾股定理的联系与区别．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么
这个三角形是直角三角形．
1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
① a=7, b=24, c=25
④ a=40, b=50, c=60
√
√
√
×
2. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题
成立吗？
① 同旁内角互补，两直线平行；
② 如果两个角是直角，那么它们相等；
③ 全等三角形的对应边相等；
④ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
3. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，
BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
S四边形ABCD=36
讲授新课
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道
“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海
天”号沿哪个方向航
行吗？
R
S Q
P E
N
分析：由图可以看到，由于“远航”号的航向
已知，如果求出两艘船的航向所成的角 ，就能
知道“海天”号的航向了。
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．
A
B C
D
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
练习1 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的中点，点F是CD
上一点，且 ．求证：∠AEF=90°．
A
B C
D
E
F
引申：
若去掉上题中的条件“AB＝4cm”，
结论还成立吗？
练习2 如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，
以东为公海. 上午9时50分，我反走私艇A发现正东方向有一走私
艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN
线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C 两艇的距离是13海里，A、
B两艇的距离是5海里 ；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若
走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
C
N
E
B
A
M
（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及
其逆定理的用途及用法，你能说说吗？
（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？
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