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第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第1课时   勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.   题设(条件):直角三角形的 两直角边长为a,b,斜边长为c .   结论:a2+b2=c2.   问题 回忆勾股定理的内容. 形 数  学习目标:  1.理解勾股定理的逆定理,经历“观察-测量-猜想- 论证”的定理探究的过程,体会“构造法”证明数学命题 的基本思想;  2.了解逆命题的概念,知道原命题为真命题,它的逆命 题不一定为真命题.  学习重点: 探索并证明勾股定理的逆定理. 逆向思考 提出问题  思考 如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是否是直角三角形?   据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:把一根长 绳打上等距离的13 个结,然后以3 个结间距,4 个结间 距、5 个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形, 其中一个角便是直角.你认为结论正确吗? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (13) (12) (11) (10) (9) 如果三角形的三边分别 为3,4,5,这些数满足 关系:32+42=52,围成的 三角形是直角三角形.    实验操作: (1)画一画:下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方,分别以这些数为边长画出三角形(单位:cm), 它们是直角三角形吗? ① 2.5,6,6.5; ② 6,8,10. (2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角 的度数. (3)想一想:请判断这些三角形的形状,并提出猜想. A1  B1 C1  已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2.  求证:△ABC是直角三角形. ? 三角形全等 ∠C是直角 △ABC是直角三角形   A  B  C a b c a   作用:判定一个三角形三边满足什么条件时为直角 三角形.    定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形.   例1 判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直 角三角形: (1)a=15,b=17,c=8; (2)a=13,b=15,c=14; (3)a= ,b=4,c=5.   分析:根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是 不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等 于最大边长的平方. 解:(1) ∵ 152+82 =225+64=289,   172 =289, ∴ 152+82 =172. ∴ 以15,8,17为边长的三角形是直角三角形.   例1 判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直 角三角形: (1) a=15,b=17,c=8;(2) a=13,b=15,c=14; (3) a= ,b=4,c=5.   像15,17,8 这样,能够成为直角三角形三条边 长的三个正整数,称为勾股数. 勾股定理的逆定理:   定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 两个命题的题设与结论正好相反,像这样的两个命 题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那 么另一个命题叫做它的逆命题.    勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么a2+b2=c2.   说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题是真命 题吗? (1)两条直线平行,内错角相等; 逆命题:内错角相等,两直线平行.真命题. (2)对顶角相等; 逆命题:相等的角是对顶角.假命题. (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.    逆命题:到线段两端点的距离相等的点在线段的 垂直平分线上.真命题. (1)勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作 用? (2)本节课我们学习了原命题,逆命题等知识,你 能说出它们之间的关系吗? (3)在探究勾股定理的逆定理的过程中,我们经历 了哪些过程? 第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第2课时   说一说: 1.勾股定理的逆定理的内容是什么?        2.它与勾股定理的联系与区别. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形. 1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. ① a=7, b=24, c=25 ④ a=40, b=50, c=60 √ √ √ × 2. 下列各命题都成立,写出它们的逆命题. 这些逆命题 成立吗? ① 同旁内角互补,两直线平行; ② 如果两个角是直角,那么它们相等; ③ 全等三角形的对应边相等; ④ 如果两个实数相等,那么它们的平方相等。 3. 已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900,AB=3, BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积? A B C D S四边形ABCD=36 讲授新课   例1 某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向 航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每 小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位 于点Q,R处,且相距 30 n mile .如果知道 “远航”号沿东北方 向航行,能知道“海 天”号沿哪个方向航 行吗? R S Q P E N 分析:由图可以看到,由于“远航”号的航向 已知,如果求出两艘船的航向所成的角 ,就能 知道“海天”号的航向了。   例2 如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4, CD=12,AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.   解:∵ AB=3,BC=4,∠B=90°, ∴ AC=5.又∵ CD=12,AD=13, ∴ AC2+CD2=52+122=169. 又∵ AD2=132=169, 即 AC2+CD2=AD2, ∴ △ACD是直角三角形. ∴ 四边形ABCD的面积为             . A B C D   问题2 通过例1及例2的学习,我们进一步学习了 像18,24,30;3,4,5;5,12,13这样的勾股数,大 家有没有发现18,24,30;3,4,5 这两组勾股数有什 么关系?   追问1 类似这样的关系6,8,10;9,12,15是否 也是勾股数?如何验证?   追问2 通过对以上勾股数的研究,你有什么样的 猜想?   问题2 通过例1及例2的学习,我们进一步学习了 像18,24,30;3,4,5;5,12,13这样的勾股数,大 家有没有发现18,24,30;3,4,5 这两组勾股数有什 么关系?   结论:若a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck (k为正整数)也是一组勾股数.   练习1 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA , ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.点E是BC的中点,点F是CD 上一点,且   .求证:∠AEF=90°.  A B C D E F 引申: 若去掉上题中的条件“AB=4cm”, 结论还成立吗? 练习2  如图,南北向MN为我国领域,即MN以西为我国领海, 以东为公海. 上午9时50分,我反走私艇A发现正东方向有一走私 艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C 两艇的距离是13海里,A、 B两艇的距离是5海里 ;反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若 走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海? C N E B A M (1)通过本节课的学习,我们更加明确了勾股定理及 其逆定理的用途及用法,你能说说吗? (2)通过对勾股数的研究,你有什么结论? 查看更多

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