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2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及
其含义
第二章 平面向量
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1．平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量
___________叫做a与b的_________ (或______)，
记作a·b，即______________
规定零向量与任一向量的数量积均为______.
数量积 内积
0
|a||b|·cos θ
a·b＝|a||b|cos θ.
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想一想
1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？
提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一
个向量．
做一做
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
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2．向量的数量积的几何意义
(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向
上)的________
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上
的投影___________的乘积．
想一想
2.投影是向量吗？
提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它
的符号由θ的取值决定．
投影．
|b|cos θ
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≤
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
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答案：30°
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考试
驾驶员之家 http://www.jsyzj.com/chexing/c1.html C1驾驶证能开什么车
驾驶员之家 http://www.jsyzj.com/chexing/c2.html C2驾驶证能开什么车
驾驶员之家 http://www.jsyzj.com/chexing/c3.html C3驾驶证能开什么车
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4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝_______ (交换律)．
(2)(λa)·b＝_______________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝______________ (分配律)．
b·a
λ(a·b)＝a·(λb)
a·c＋b·c
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想一想
3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或
相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向
不一定相同，故该等式不一定成立．
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题型一 向量数量积的运算
题型探究
例1
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【名师点评】 求两向量数量积的步骤是：
(1)求a与b的夹角；
(2)分别求|a|，|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用
“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
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1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a
与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
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例2
题型二 向量的模长问题
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题型三 两个向量的夹角和垂直
例3 (1)已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，求a与b的夹角．
(2)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之
间的夹角为120°.求证：(a－b)⊥c.
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(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
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3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量
a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
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1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一
向量在其上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，
向量的数量积的结果是一个实数．
2．数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结
合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这里是因
为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．
a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是
a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．
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3．向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直
推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，
即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线
．
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例4
规范解答 应用向量的模及夹角求解
(本题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角
是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
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(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，
则(a＋2b)·(ka－b)＝0 .8分
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，10分
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.12分
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抓关键 促规范
若cos 120°值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点．
解答时，应先求出 ，从而可求|4a－2b|，是本题突破点．
解答过程中，若未能根据(a＋2b)⊥(ka－b)推出 ，则无法
求出k的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况．
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