资料简介
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形（1）
合作学习
用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）.
（1）能摆成多少个不同的平行四边形？
它们有什么共同特点？说出你的理由.
（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平
行四边形？说出你的理由.
（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？
a
α
A D
A D
B C
A DA D
AA
BB CC
DD
有一个角是直角的平行四边形叫做有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形..
AA
BB CC
DD
（１）矩形（１）矩形的定义：
（３）实质上：矩形是特殊的平行四边形.
（２）矩形的表示：（２）矩形的表示：矩形矩形ABCD.
一个角是直角一个角是直角
小学里学过的长方形、正方形都是矩形.
想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些
东西是矩形？
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有
平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪
些性质吗?
五、矩形的两条对角线互相平分
三、矩形的两组对角分别相等
二、矩形的两组对边分别相等
一、矩形的两组对边分别平行
四、矩形的邻角互补
六、矩形是一个中心对称图形
四个角都是直角.
对角线相等.
如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。
OO
探索探索矩形的特殊矩形的特殊性质：性质：
AA
BB CC
DD
(1)(1)矩形的四个角的度数分别为多少？矩形的四个角的度数分别为多少？
(2)(2)对角线对角线ACAC与与BDBD间有什么关系？间有什么关系？
由动手操作时猜想“矩形的四个角都是直角”,
请你结合图形,说明一下理由.(不必写出过程)
性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
符号语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
由动手操作时猜想“矩形的对角线相等”.请你写出证明过程：
性质定理2： 矩形的对角线相等
符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线, 求证：AC=BD.
证明： 在矩形ABCD中,∵AB=CD(平行四边形的对边相等),
∠ABC=∠DCB=90°(矩形的四个角都是直角),
BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=BD. A
O
B C
D
探究一：
在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.
OA,OB,OC,OD这四条线段有什么数量关系？
OA=OB=OC=OD.
想一想: 如上图,矩形的两条对角线把矩形分成了几个等腰三角形?
图中一共有几个直角三角形？有几对全等三角形？请把他们写出来.
又∵OA=OC= AC, OB=OD= BD
∴ AC=BD
∴OA=OB=OC=OD.
解：
(平行四边形的对角线互相平分),
∵四边形ABCD是矩形,
(矩形的对角线相等).
A
B C
D
O
在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.
探究二：
（1）若∠AOD=120°，试判断⊿ABO的形状；
（2）若∠AOD=120°, AB=4cm, 你能求出哪些线段的长度？
你能求出这个矩形的周长和面积吗？
方法归纳: 这个例题说明很多矩形的问题可以转化为
什么图形来解决？
4⊿ABO为等边三角形
矩形矩形 问题问题 直角三角形和等腰三角形问题直角三角形和等腰三角形问题转化
例 已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点0,
∠AOD=120°, AB = 4 cm,
求：（1）判断△AOB的形状；
（2）矩形对角线的长.
A
B C
D
120°
O
4
1.在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，
若BE=OE=1，则AC=_____,
AB＝______,∠AOB=______.
2.在矩形ABCD中,E、F分别是
AB、CD的中点.
求证：四边形AEFD是矩形.
练一练
O
第1题图
第2题图
2
4
60°
A
B C
D
O
探索矩形的对称性:
矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形
想一想
矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条?
是中心对称图形吗？
练一练
在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知
AB=6，BC=8，
(1)求AC= ，BD= 。
(2)矩形ABCD的周长是 ，面积是 。
A
B C
D
O
10 10
28 48
6
8
已知已知::如图如图,,过矩形过矩形ABCDABCD的顶点作的顶点作CE//BDCE//BD，交，交ABAB的延长线于的延长线于EE。。
求证：求证：∠∠CAE=∠CEACAE=∠CEA。。
A B
CD
E
相信你,一定行
如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A
落在点E处，BE交CD于点F。已知∠∠ABD=30ABD=30°°..
（（11）求）求∠∠CDECDE的度数。的度数。
（（22）求证：）求证：EF=FCEF=FC。。
BA
D CF
E
某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现
征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方形组成（圆
和正方形个数不限），并且使整个矩形地成轴对称图形，
请在矩形中画出你的设计方案。
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
矩形
的定
义：
有一个
角是直
角的平
行四边
形叫做
矩形.
※ 矩形的对称性
矩形是中心对称图形,
又是轴对称图形.
这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？
已知:如图,在矩形ABCD中,M为BC的中点.
求证:
（2）若要使∠AMD是直角，应添加什么条件？
（1）AM=DM.
小结 反思
1.一个定义：
2.两个定理:
3.两个结论:
(1)矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形划分成四个
等腰三角形,有八对全等三角形。
(2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？
如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，EE、、FF分别是分别是ABAB、、CDCD的中点，的中点，
求证：四边形求证：四边形AEFDAEFD是矩形。是矩形。
D F C
A E B
已知已知::如图如图,,过矩形过矩形ABCDABCD的顶点作的顶点作CE//BDCE//BD，交，交ABAB的延长线的延长线
于点于点EE。。
求证：求证：∠∠CAE=∠CEACAE=∠CEA。。
A B
CD
E
相信你,一定行
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形（2）
回顾：矩形有哪些性质？回顾：矩形有哪些性质？
OO
AA
BB CC
DD
(1)AB//CD(1)AB//CD且且AB=CDAB=CD，，ADAD////BCBC且且
AD=BC AD=BC
(2)(2)∠∠ABC=ABC=∠∠BCD=BCD=∠∠ADC=ADC=∠∠BAD=90BAD=90OO
(3) OA=OB=OC=OD(3) OA=OB=OC=OD
（（矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分））
木工师傅
(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗?
有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形叫做叫做矩形矩形
矩形的定义：
2、要判定一个四边形是矩形只要说明几
个角是直角？为什么？
A
B C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形
1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？
合作学习
请大家自己进行证明
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。 真命题真命题
（1）测量两组对边,发现两组对边分别相等;
（2）测量对角线，发现两条对角线相等.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗?（用所学的知识去证明）
A
B C
D
已知： 如图，在□ABCD中，AC=BD
求证： □ABCD是矩形
想一想
你觉得矩形还有其他判定方法吗？
证法一
A
B C
D
证明： 在□ABCD中，AB=CD
又∵AC=BD，BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB
又∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴□ABCD是矩形
已知： 如图，在□ABCD中，AC=BD
求证： □ABCD是矩形
A
B C
D
O
在□ABCD中，AO=OC，BO=DO， 证明：
又∵AC=BD
∴AO=BO=CO
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB
∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠OBA+∠OBC=90°即∠ABC=90°
∴□ABCD是矩形
证法二
已知： 如图，在□ABCD中，AC=BD
求证： □ABCD是矩形
A
B C
D
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：
∵AC=BD
∴□ABCD是矩形
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
11、判断、判断下列命题下列命题是否正确，并说明理由。是否正确，并说明理由。
（（11）对角互补的平行四边形是矩形。）对角互补的平行四边形是矩形。
（（22）一组邻角相等的平行四边形是矩形。）一组邻角相等的平行四边形是矩形。
（（33）对角线相等的四边形是矩形。）对角线相等的四边形是矩形。
（（44）内角都相等的四边形是矩形。）内角都相等的四边形是矩形。
练一练
2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
A B
CD
E F
GH
O
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ，
AO=CO=BO=DO,
∵AE=CG=BF=DH,
∴ OE=OG=OF=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴四边形EFGH是矩形.
又∵ EG=FH,
例 已知:如图,在 □ ABCD 中,
对角线AC,BD 相交于点O,∠1＝∠2.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明: 在□ABCD中,OA＝OC,OB＝OD
(平行四边形的对角线互相平分).
又∵∠1＝∠2,
∴OA＝OB.
∴OA＝OB＝OC＝OD,即AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
变式练习变式练习 已知已知：如图，：如图，ACAC与与BDBD相交于点相交于点OO，，AB CDAB CD且且
∠∠1=1=∠∠22 ..
求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形..
［问题］一张四边形纸板ABCD的形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的
四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ⑵四边形ABCD满足什么情况下
中点四边形EFGH为矩形？并说
明理由．
解：分别取AB，BC，CD，DA
的中点E，F，G，H，可剪得中
点四边形EFGH为平行四边形．
两条对角线互相垂直，AC⊥BD
例2 一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条
对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并
且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以
怎么剪？
(2)(1)
OO
D
B
C
A A
C
B
D G
FH
E
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
理由如下：
∵GH是△ACD的中位线
∴GH∥AC
１
２
３
∵AC⊥BD ∴∠１＝90°
（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）
∴∠2＝∠1＝90°
∵EH是△ABD的中位线
∴EH∥BD
∴∠3＝∠2＝90°.
４
５
（三角形的中位线平行于第三边）
同理可得：∠4＝90°， ∠5＝90°
∴四边形EFGH是矩形． （有三个角是直角的四边形是矩形）
做一做
1.已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是
CB，∠B=∠D=90°。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
D C
B
2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M，N，P，
Q分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形MNPQ是矩形。
A
Q P
NM
D
C
B
做一做
3.在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），
C（-a，-b），D（-a，-c）（a≠0，b≠c）。若要使四边
形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由。
做一做
谈谈你的收获、感受！
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
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