资料简介
2.3.2-3平面向量正交分解及坐标表示
问题情境
火箭在飞行过程中的某一时刻速度可
以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。
在力的分解的平行四边形过程中，我们看
到一个力可以分解为两个不共线方向的力
之和。
那么平面内的任一向量否可以用两
个不共线的向量来表示呢？
动画演示
设 、 是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 、 之间的关系。
a
研究
平面向量基本定理
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
共线向量，那么对于这一平面内的任
如果 、 是同一平面内的两个不
a = +
这一平面内所有向量的一组基底。
我们把不共线的向量 、 叫做表
（1）一个平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
FF
A
N B
a
M
O
C
N
M M
O
C
N
a
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
O
CF M
N
a
EE
A B
NOC = 2OB + ON
OC = 2OA + OE
OC = OF + OE
新课新课
O
A
BC
·
例1
D C
BA
M
例2 如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=300的斜
面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。
F
MN
EG
练习1 如图，在平行四边形ABCD中，E，F
分别是BC，DC的中点，AB=a,AD=b,用a，b
表示BF和DE。
A
CF
E
B
D
A
CCBB
AA
DD
EEFF GG
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
试用 a , b 表示AD。
CCBB
AA
DD
EEFF GG
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
试用 a , b 表示AG。
CCBB
AA
DD
EEFF GG
变式
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
那么GA+GB +GC=?。
设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,
CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，
求k的值。
A、B、D三点共线解：
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.λ使得AB = λBD.
思考
k = 8 .
= a – 4b
由于BD = CD – CB
=(2a – b) –(a +3b)
则需 2a + kb = (a – 4b )
由向量相等的条件得 2 =
k = 4
则需 2a + kb = (a – 4b )
2 - = 0
k – 4 = 0
此处可另解：
k = 8 .
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
例5、 如图，已知梯形ABCD，
AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB
的中点.
请大家动手,
在图中确一组
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A N
M CD
B
解析：
BC = BD + DC =
MN = DN-DM
=(AN-AD)- DC
(AD–AB)+DC
A N
M CD
B
DC = AB =
设AB = ,AD = ,则有：
= - .
= - + =
= - -
- +
评析
能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。
例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
F BA
D CE
F BA
D CEE、F分别是DC和
AB的中点,
AE= AD+ DE
= b+ a
CF= CB+ BF = -b - a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
解：设AB= a,AD= b.
1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
课堂总结
本题在解决过程中用到了两向量
共线的充要条件这一定理，并借助平
面向量的基本定理减少变量，除此之
外，还用待定系数法列方程，通过消
元解方程组。这些知识和考虑问题的
方法都必须切实掌握好。
评析
2. 在实际问题中的指导意义在于
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 与 ），从而将
问题转化为关于 、 的相应运算。
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在和唯一
（２）基底的不唯一
（３）定理的拓展
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD
的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = (AD+BC)
设 、 是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 、 之间的关系。
a
研究
平面向量基本定理
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
共线向量，那么对于这一平面内的任
如果 、 是同一平面内的两个不
a = +
这一平面内所有向量的一组基底。
我们把不共线的向量 、 叫做表
（1）一个平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
FF
A
N B
a
M
O
C
N
M M
O
C
N
a
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
O
CF M
N
a
EE
A B
NOC = 2OB + ON
OC = 2OA + OE
OC = OF + OE
新课新课
如图1，在直角坐标系内，我们
分别取与x轴、y轴方向相同的两
个单位向量i、 j作为基底，任何
一个向量a，由平面向量基本定理
可知，有且只有一对实数x、y，使
得
a=xi+yj
我们把（x,y)叫做向量a 的（直
角）坐标，记作
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫
做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做
向量的坐标表示。
一、平面向量的坐标表示
a
y
j
iO
图 1
x
i
y
xO
y
x
j
A（x,y）
a
a
图 2
如图2，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
置由a惟一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标
（x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数惟一表示。
例1 如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
d ,并求出它们的坐标。
j
y
xO i
a
A1A
A2
b
c d
图 3
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3)
二、平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即
a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等
于这两个向量相应坐标的和与差。
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标。
y
xO
B(x2,y2)
A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),
根据上面的结论，有
AB= OB - OA
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
练习： 已知 ＝（x , y) , 点B的坐标为
（－2，1）求 的坐标.
已知 ＝（x , y) ,点A的坐标为（3，2）点B的
坐标为（－2，1）求 的坐标.
已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（x，y）点B
的坐标为（－2，1）求 A 的坐标.
已知 ＝（-5 , -1) ,点A的坐标为（3，2）点B
的坐标为（x，y）求 B 的坐标.
2
、
1
、
3
、
4
、
已知a=(x,y)和实数λ，那么
λ a=(λ x, λ y)
即
λa=(λx, λy)
• 这就是说，实数与向量的积的坐
标等于这个实数乘以原来向量的
相应坐标。
例2 已知 求
的坐标.
解：
2.3.3 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
例3 已知
(1)若 求x;
(2)若 求x.
解：
解得：
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。
例4 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知
求 坐标.
A
D
B
C
O
分析： 的坐标，只要求得
的坐标即可.
解：由
要求得
评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量的基本运算，
对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的
向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系。
例5 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有
向量的基底，正确的判断是 （ ）
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
AA
三、向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,那么
可以知道，a//b的充要条件是存在
一实数λ，使
a= λb
这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1,y1）= λ(x2,y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
消去λ后得
也就是说，a//b(b0)的充要条件是
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
谢谢同学们谢谢同学们
再
见
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