资料简介
4.1.2圆的一般方程
• 1.掌握圆的一般方程及其特点.
• 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟
练地指出圆心的位置和半径的大小.
• 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆
的方程.
• 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用
问题.
• 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
• (1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为
• ______________________;
• (2)当________________时,方程不表示任何图形;
• (3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心
• 坐标为________________,半径等于________________,上
述方程称为圆的一般式方程.
D2+E2-4F=0
D2+E2-4F0
• 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆
的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当
二元二次方程具条件:
• (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;
• (2)没有xy项,即__________;
• (3)__________________时,它才表示圆.
A=C≠0
B=0
D2+E2-4AF>0
• 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b) 2=r2①
• 明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的
一般方程:
• x2+y2+Dx+Ey+F=0②
• (其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).
• 仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.
• 2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方
程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.
• 题型一 圆的方程的判断
• 例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标
准方程.
• (1)x2+y2+2x+1=0;
• (2)x2+y2+2ay-1=0;
• (3)x2+y2+20x+121=0;
• (4)x2+y2+2ax=0.
• 分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后
再作出判断.
• 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-
1,0),不表示圆.
• (2)原方程可化为x2+(y+a) 2=a2+1,它表示圆
心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为
x2+(y+a) 2=
• (3)原方程可化为:(x+10) 2+y2=-210,
• ∴m>-2.
• 错因分析:本题错误根本原因没理解圆的一般式方程的
定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,应有
D2+E2-4F>0这个条件,错解中丢掉了这个隐含条件.
正解:∵点P(m,2)在圆外,
技 能 演 练
基础强化
1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )
答案:A
• 2.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有
( )
• A.A=C≠0
• B.D2+E2-4AF>0
• C.A=C≠0且D2+E2-4AF>0
• D.A=C≠0且D2+E2-4AF≥0
• 答案:C
• 3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( )
• A. B.2π
• C. D.4π
• 解析:将圆的方程配方得(x-1) 2+(y+3) 2=2,
• ∴圆的半径 ∴周长为2πr=
• 答案:C
• 4.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐
标是( )
• A.(5,1) B.(4,-1)
• C.(5,-1) D.(-5,-1)
• 解析:∵圆心到P,Q,R的距离相等,代入选项的坐标,
知C成立.
• 答案:C
• 5.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为(
)
• A.(x-2) 2+y2=5 B.x2+(y-2) 2=5
• C.(x+2) 2+(y+2) 2=5 D.x2+(y+2) 2=5
• 解析:点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因
此圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径
不变,所以方程为(x-2) 2+y2=5.
• 答案:A
• 6.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴
和y轴上的圆的方程为( )
• A.(x+2)2+(y+3) 2=52
• B.(x-2) 2+(y+3) 2=
• C.(x-2) 2+(y+3) 2=13
• D.(x-2) 2+(y-3) 2=
• 解析:设一条直径的端点坐标分别为
(x0,0),(0,y0).由题意得,
• =-3,∴x0=4,y0=-6,
• ∴圆的半径为
• ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3) 2=13.
• 答案:C
• 7.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是P,则点P到直线
• x-y-1=0的距离是________.
• 解析:已知圆的圆心P坐标为(2,0),∴P到直线
• x-y-1=0的距离为
• 8.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,则a的值为
• ________.-2
• 能力提升
• 9.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-
2)两点,求圆C的方程.
• 解:设圆C的方程为
• x2+y2+Dx+Ey+F=0,
• 则圆心 在直线上.
由①②③解得
D=-4,E=6,F=8.
∴圆的方程为
x2+y2-4x+6y+8=0.
• 10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),
• (1)若P(m,m+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜
率;
• (2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值.
• 解:(1)点P在圆C上代入得
• m2+(m+1) 2-4m-14(m+1)+45=0,
• 解得m=4.
• ∴点P为(4,5),
• 故|PQ|=
• (2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时,P点为过Q与
圆心C的直线与圆C的两个交点.易知:
• |PQ|最大值为|QC|+R= (R为圆C半径).
• 最小值为|QC|-R=
品 味 高 考
11. 若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 则
a的值为( )
A.-2或2 B.
C.2或0 D.-2或0
解析:已知圆的方程为
(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心C(1,2),
由题意得,
∴|a-1|=1,∴a=2或0.
答案:C
• 12. 经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂
直的直线方程是( )
• A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
• C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
• 解析:由题知圆心C(-1,0),斜率k=1,
• 故所求的直线方程为y=x+1,即x-y+1=0.
• 答案:C
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