资料简介
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程的应用（2）
列方程解应用题的一般步骤:
审
设
列
解
即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些
是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用含未知数
的代数式表示其他相关量。
根据等量关系列出方程。
解方程。
验 检验根的准确性及是否符合实际意义。
总结
课前回顾
二次增长后的值为
依次类推，n次增长后的值为
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为
二次降低后的值为
依次类推，n次降低后的值为
（1）增长率问题
（2）降低率问题
课前回顾
例1 如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，
裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若
纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？
情境引入 面积问题
解:设高为xcm,可列方程为
x
25-2x
x
40-2x
探究1
（40－2x)(25 -2x)=450
解:设高为xcm,可列方程为
（40－2x)(25 -2x)=450
解得x1=5, x2=27.5
经检验：x=27.5不符合实际，舍去。
答：纸盒的高为5cm。
解答
如图，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用
32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩
形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．
练习1
【解】设该矩形草坪BC边的长为x米.
根据题意，得
x· (32－x)＝120.
解得x1＝12，x2＝20.
∵20>16，
∴x＝20不符合题意，舍去．
答：该矩形草坪BC边的长为12米．
一轮船（C）以30 km/h的速度由西向东航行在途中接
到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,
已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风
影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
B
A
C
探究2 动点问题
（1）船会不会进入台风影响区？
（2）如果会，求多长时间进入台
风影响区.
①假设经过t小时，轮船和台风分别在 ,
的位置。
探究2
因为BC=500 km,BA=300 km,
所以由勾股定理可知AC=400 km。
B
AC 300-20t400-30t
探究2
②运用数形结合的方法寻找等量关系，并列出
方程。
探究2
B1C1
2=AC1
2+AB1
2
所以列出等量关系：
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
B1C1=200 km
当船与台风
影响区接触
时B1C1符合
什么条件？
③解方程。
解得t1≈8.35 ，t2≈19.34
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
探究2
轮船首次受到台风影响的时间和最后受到影响
的时间
方程解得的
t1,t2的实际
意义是什么
？
t1≈8.35 ，t2≈19.34
探究2
④如果船速为10 km/h,结果将怎样?
B
A
C
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
化简，得：t2-40t+420=0
由于此方程无实数根
∴轮船继续航行不会受到台风的影响。
探究2
如图，在ΔABC中,∠C=90°,AB=10cm, AC=8cm,点P从A开
始出发向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点B出发向点C以
1cm/s的速度移动.若P，Q分别同时从A，B出发，几秒后
四边形APQB是ΔABC的面积的三分之二？
练习2
C
B
P
Q
设x秒后四边形APQB是
ΔABC的面积的三分之二，
A
x
2x
8
10
根据勾股定理得
BC²= 10² - 8²
BC=6
则AP=2 ,BQ=x.
所以CP=8-2x ,CQ=6-x
答: 2秒后四边形APQB是ΔABC的面积的三分之二.
解答
80cm
xx
x
x
50cm
1、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，
制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是5 400平
方厘米，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A.x2+130x-1 400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1 400=0 D.x2-65x-350=0
B
达标测评
2、建造一个面积为20平方米，长比宽多1米的长方形
喷泉，问：它的宽是多少？
解： 设这个喷泉的宽为x米，则长为（x+1）米.
根据题意得： x ( x+1) = 20
即 x 2 + x - 20 = 0
解得:
答:这个长方形的喷泉的宽为4米.
经检验， 不符合题意，舍去.
3、将一条长为56米的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝作成一个
正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于100平方米，该怎样剪？
（2）要使这两个正方形的面积之和等于196平方米，该怎样剪？
（3）要使这两个正方形的面积之和等于200平方米，该怎样剪？
解：设第一个正方形的边长为x米.
x²+ (14-x)² =100
x²+ (14-x)² =196
x²+ (14-x)² =200
学校要建一个长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三
边用长度为40米的木栏围成。
（1）要使基地的面积达到150平方米，则这个长方形基地
的两边长分别为多少？
xx
40-2x
解：设长方形的一边长为x米，则另一边长为（40-2x）米。
根据题意得：
经检验， 都符合题意。
解得：
答：长方形基地的两边长分别为5米、30米或15米、10米。
应用提高
长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为
40m的木栏围成。
（2）基地的面积能达到250平方米吗？为什么？（通
过计算说明）
xx
40-2x
解：设长方形的一边长为x米，则另一边长为（40-2x）米.
根据题意得：
化简得：
所以方程无实数根,即长方形基地的面积不能达到250平方米。
长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长为40m的
木栏围成。
（3）基地的面积最大能达到多少平方米？
xx
40-2x
解：设长方形的一边长为x米，则另一边长为（40-2x）米。
根据题意得：
原式=
所以当x=10米时，长方形的最大面积为200平方米。
？
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、一元二次方程的应用之面积问题。
2、一元二次方程的应用之动点问题。
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