资料简介
6、函数图象及其应用
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。
三．设计思想：
1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：
1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。
教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。
六．教学过程设计：
环节设置
问题驱动
学情预设
设计意图
（一）目标设疑，学生解疑，温故知新（约8分钟）
提问1：我们学过哪些基本初等函数？对它们的大致图像还有印象吗？
试回忆所学并完成表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“ ”改为“ 且 ”，又该如何选择？
回顾常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数（ 的图像。（板书结合多媒体演示、实物投影）
所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。教师必需尊重学生的主体性，让学生自主参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒体直观演示能使教学更富趣味性和生动性。
试回忆所学并完成表格：
函数名称
函数解析式
函数大致图像
常数函数
为常数）
平行与x轴的一条直线
一次函数
为常数）
一条直线
二次函数
为常数， ）
一条抛物线
反比例函数
为常数）
一条双曲线
指数函数
（多媒体演示）
对数函数
（多媒体演示）
幂函数
为常数）
（多媒体演示）
练习1．如图6-1当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图像是（ D ）
图6-1提问2：若将“ ”改为“ 且 ”，又该如何选择？
环节设置
问题驱动
学情预设
设计意图
（二）演练巩固，深化理解，学以致用（约35分钟）
练习2．（后附）
提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分）的函数表达式？这样的函数称为什么函数？
例1．（后附）
师：从函数图像上可以分析函数的性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性等），除此之外，函数图像还有什么妙用吗？请看例2。
例2．（后附）
适当引导，点拨，引发认知冲突，学生探究解决。
变式一：若方程 有解，k取何范围？
提问：一定要画出具体的函数图像吗？不画图有没有办法直接给出k的取值范围呢？
师：数和形是数学的两种表达形式，在本例中，我们借由函数图像（形）解决方程的根的个数判断（数），以形辅数，这种思想方法称为数形结合。
变式二：依照这样的解题方法，你能否判断方程 的根的个数？
以问题为驱动，讲练结合，引入对具体实例的详细剖析，循序渐进，由浅入深，探讨函数模型的广泛应用和函数与方程的等价转化，渗透数形结合思想。（板书结合多媒体演示）
练习2：借助具体实例，了解简单的分段函数，这是很重要的一类函数模型，在实际问题中有较广泛的应用。本题要求写出函数解析式，大约5分钟可完成。
例1：借由函数图像解决函数性质（值域）是函数图像的重要应用，以概念定义方式呈现，以分段函数的形式考察，足见题目设计的新颖，对学生较有吸引力和挑战性，给足学生思维、探究、讨论的时间，大约10分钟方可完成。
例2：恰当的问题情境，能引发学生的认知冲突，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，激发他们的求知欲和探索精神，引导学生主动思考。这个问题涉及本课题的核心内容，给学生充足的探究时间，大约20分钟可完成。
具体可能的认知冲突有二：
认知冲突一：方程 的根的个数判断，真的要解方程吗？有其他办法吗？
认知冲突二：如何作函数 与 的图像？
结合多媒体辅助演示，作函数 与 的图像，利用函数图像交点个数判断方程根的个数。
（1）新教材为引导学生自主发现、探索留有比较充分的空间，在教学中我们应充分利用这些空白空间，目标问题化，问题设疑化，过程探讨化，再给予学生发挥的空间，促进他们主动地学习和发展，让空白的地方丰富多彩也是学习方式丰富的表现。
（2）对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学地思考，数学能力的提高离不开解题，解题教学重点是向学生暴露思维过程和展示学生的思维过程。例题的设计以阶梯式呈现，给学生较为充分的时间，自主探究和解决问题，教师在评讲时，有意识地渗透数形结合的思想方法，从而达到传授知识、培养能力的目的，实现难点的化解与突破。
（3）学习函数和方程的相互等价转化，注意相关内容的前后联系，使学生加深对所学知识的系统认识，促进思维的深刻性。在潜移默化中培养了学生的科学态度和理性精神。
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。通话收费S（元）与通话时间t（分）的函数图像可表示为（ B ）
O
3
6
t
0.2
0.4
S
(A)
O
3
6
t
0.2
0.4
0.6
(B)
O
3
6
t
0.2
0.4
0.6
S
(C)
O
3
6
t
0.2
0.4
0.6
S
(D)
图6-2提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分） 的函数表达式？这样的函数称为什么函数？
例1．若定义运算 ，则函数 的值域为（ A ）
例2．当 时，方程 有两解？有三解？有四解呢？无解呢？
环节设置
问题驱动
学情预设
设计意图
（三）理论升华，思维拓展，总结评价（约2分钟）
提问：这节课我们学习了那些内容？哪些方法？哪些数学思想？（课堂小结后附）
课后作业：（后附）
1．写下本节课的学习心得体会。
2．完成三道课后习题
总结学习内容，归纳学习方法，提升数学思想，拓展学生思维，完成总结评价。
提纲挈领，理清基本内容，形成知识体系，提升数学思想，使本节内容不再浮于表面。
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。
正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
课后作业：
1．总结本节课的学习心得体会。
波利亚（G·Polya）先生曾指出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用。
学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。
2．课后习题：
O
C
t
3
8
1．某工厂八年来产品总产量C（即前t年年产量之和）与时间t（年）的函数如图6-3，下列四中说法：
（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变；
图6-3
其中，说法正确的是（ A ）
（A）（2）与（3） （B）（2）与（4） （C）（1）与（3） （D）（1）与（4）
2．若关于x的方程 有且只有两个不同的实根，则（ ）
1
2
3
4
O
x
y
1
2
图6-43．如图6-4，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数 的解析式。
变式：讨论方程 的根的个数。
0.6
附：板书设计
函数名称
函数解析式
函数大致图像
常数函数
为常数）
……
一次函数
为常数）
……
二次函数
为常数）
……
反比例函数
为常数）
……
指数函数
……
对数函数
……
幂函数
为常数）
……
1.常见函数模型
2．分段函数
练习2：……
例1．……
例2．……
七．教学反思
1．对教学内容的反思：
对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。
从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。
从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包括方程的根与函数的图象之间的等价转化问题。
2．对学生数学学习活动的反思：
师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学习的水平，养成正确的学习态度和习惯。
3．对数学教学活动的反思：
教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，其五，关注学生，及时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性，其七，切实重视基础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的发展。
黄培华
点评：
在环节（一）中，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生熟悉的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成对所学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、课堂交流、亲身实践、温故知新。新课程理念指出，学生是学习的主体，所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。
在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分段函数及其在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖析中，将问题情境化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自主学习真正成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成几个高潮，使学生在问题的解决中不断的学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力的提高离不开解题，“解题策略的掌握，思想方法的运用，并不在于教师讲了多少，而是在于学生通过自己的认识活动体验、感悟了多少。”这两个例题尽管较为简单，但蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，具有典型性和示范性。不为解题而解题，为的是通过解题，让学生感悟和体验数学的理性精神，在潜移默化中渗透数学思想。
新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多元性，这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。
查看更多
