资料简介
11.2.1三角形的内角
第十一章 三角形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学练优八年级数学上
（RJ）
教学课件
学习目标
1.阐述并验证三角形内角和定理.（难点）
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.（重点）
3.会运用三角形内角和定理进行计算.（重点）
导入新课
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三
兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气
来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你
一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否
则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”
老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
三兄弟的和应为180度！
讲授新课
三角形的内角和定理一
三角形两边的夹角叫做三角形的内角.
A
B C
(
问题：
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30°+60°+90°=180° 45°+45°+90°=180°A
B C
三角形的三个内角和是多少?
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢?
拼图探索
想一想 从刚才拼角的过程你能
想出证明的办法吗?
180°
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
F
21
E
CB
A
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
A
C
B C
B
证明：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
想一想 同学们还有其他的
方法吗？
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
CB
A E
D
1
2
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等).
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
CB
AE
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做
辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁
内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
典例精析
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC
的角平分线，求∠ADB的度数.
A B
C
D
解：由∠BAC=40 °,AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 三角形 .
练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A=
， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60° 50° 70°
北
.A
D 北 .C
B.
东
E
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东
80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视
角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少
度？
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°
-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的
视角∠ACB是90°.
北
.A
D 北 .C
B.
东
E
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数
吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，
你能得出什么结论？ A
B C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的性质与判定二
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表
示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
典例精析
例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与
∠DBE有什么关系？为什么？
A B
C D
E解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
问题2 在△ABC 中，∠A +∠B =90°，∠C等于多少度？你用
了什么知识解决的?你能得出什么结论？ A
B C
∠C=90 °，三角形内角和定理.
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
结论：直角三角形的两个锐角互余．
典例精析
例4 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？
为什么？ A
C B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
当堂练习
1.说出下列各图中的x值．
x=70 x=60
x=30 x=50
2.填空
（1）一个三角形最多有 个直角，因为 ；
（2）一个三角形最多有 个钝角，因为 ；
（3）一个三角形至少有 个锐角，因为 .
1
1
2
三角形内角和等于180 °
三角形内角和等于180 °
三角形内角和等于180 °
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
BA
C
D 4
1
32
E
40°（
280 °
4.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于
点O．
变式1 若∠A =80°，则∠BOC = ．
变式2 你能直接写出∠BOC与∠A 之间的数量关系吗？
A
B C
O
E D
130°
∠BOC = 90°+ ∠A .
课堂小结
三角形的
内 角
三 角 形 的
内角和定理
证 明 了解添加辅助线
的方法及其目的
内 容 三 角 形 内 角 和 等 于180 °
直角三角形的
性 质 与 判 定
性 质 直角三角形的
两 锐 角 互 余
判 定 两角互余的三角形
是 直 角 三 角 形
见《学练优》本课时练习
课后作业
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