资料简介
第二单元 等式与不等式
第 26 课 第 3 章 章末综合
一、基础巩固
1.函数 f(x)＝
x－1
x－2 的定义域为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.[1，2) D.[1，2)∪(2，＋∞)
【答案】D
【解析】根据题意有{x－1 ≥ 0，
x－2 ≠ 0，
解得 x≥1 且 x≠2.
2.已知 f(x
2－1 )＝2x＋3，则 f(6)的值为( )
A.15 B.7
C.31 D.17
【答案】C
【解析】令x
2－1＝t，则 x＝2t＋2.
将 x＝2t＋2 代入 f(x
2－1 )＝2x＋3，
得 f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以 f(x)＝4x＋7，所以 f(6)＝4×6＋7＝31.
3.若函数 f(x)＝ax2＋bx＋1 是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
【答案】A
【解析】因为函数 f(x)＝ax2＋bx＋1 是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，所以－1－a＋2a＝0，所
以 a＝1，所以函数的定义域为[－2，2].因为函数图像的对称轴为 x＝0，所以 b＝0，所以 f(x)＝x2＋1，
所以 x＝±2 时函数取得最大值，最大值为 5.
4.已知 f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且 f(a)·f(b)＜0，则 f(x)＝0 在[a，b]内( )
A.至少有一个实根 B.至多有一个实根
C.没有实根 D.有唯一实根
【答案】D
【解析】f(x)＝－x－x3 在[a，b]上单调递减，且 f(a)·f(b)＜0，所以 f(x)＝0 在[a，b]内有唯一解.
5.已知函数 f(x)＝{1－x2，x ≤ 1，
x2－x－3，x > 1，则 f ( 1
f(3) )的值为( )
A.
15
16 B.－
27
16
C.
8
9 D.18
【答案】C
【解析】由题意得 f(3)＝32－3－3＝3，那么
1
f(3)＝
1
3，所以 f( 1
f(3) )＝f(1
3 )＝1－(1
3 ) 2
＝
8
9.
6.函数 f(x)＝
x
x2＋a的图像不可能是( )
【答案】D
【解析】函数表达式中含有参数 a，要对参数进行分类讨论.若 a＝0，则 f(x)＝
x
x2＝
1
x，选项 C 符合；
若 a＞0，则函数定义域为 R，选项 B 符合；若 a＜0，则 x≠± －a，选项 A 符合，所以不可能是选项
D.
7.已知 f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则 f(2)＝ .
【答案】6
【解析】根据已知条件，得 g(－2)＝f(－2)＋9，又 f(x)为奇函数，所以 f(－2)＝－f(2)，则 3＝－f(2)
＋9，解得 f(2)＝6.
8.设函数 f(x)＝
x2＋(a＋1)x＋a
x 为奇函数，则实数 a＝ .
【答案】－1
【解析】f(x)＝
x2＋(a＋1)x＋a
x ＝x＋
a
x＋a＋1，
因此有 f(－x)＝－x＋
a
－x＋a＋1，
因为 f(x)为奇函数，
所以 f(－x)＋f(x)＝0，
即 2a＋2＝0，所以 a＝－1.
9.若关于 x 的不等式 ax＞b 的解集为 (－∞，
1
5)，则关于 x 的不等式 ax2＋bx－
4
5a＞0 的解集
为 .
【答案】(－1，
4
5)
【解析】由已知 ax＞b 的解集为(－∞，1
5)，可知 a＜0，且
b
a＝
1
5，将不等式 ax2＋bx－
4
5a＞0 两边同
除以 a，得 x2＋
b
ax－
4
5＜0，即 x 2＋
1
5x－
4
5＜0，即 5x 2＋x－4＜0，解得－1＜x＜
4
5，故所求解集为
(－1，
4
5).
10.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)＝2x－
a
x，且 f(1
2 )＝3.
(1)求实数 a 的值；
(2)判断函数 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）a＝－1；（2）单调递增
【解析】(1)因为 f(x)＝2x－
a
x，且 f(1
2 )＝3，
所以 f(1
2 )＝1－2a＝3，解得 a＝－1.
(2)由(1)得 f(x)＝2x＋
1
x，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
证明如下：
设 x1＞x2＞1，
则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋
1
x1－2x2－
1
x2＝(x1－x2)
2x1x2－1
x1x2 .
因为 x1＞x2＞1，
所以 x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以 f(x1)＞f(x2)，
所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
二、拓展提升
11.若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
【答案】A
【解析】不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1，4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 g(x)＝x2－4x－
2，x∈(1，4)，所以 g(x)＜g(4)＝－2，所以 a＜－2.
12.在 R 上定义运算：|a b
c d |＝ad－bc.若不等式|x－1 a－2
a＋1 x |≥1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的
最大值为 .
【答案】
3
2
【解析】原不等式等价于 x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即 x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意 x 恒成立.
x2－x－1＝(x－1
2 ) 2
－
5
4≥－
5
4，
所以－
5
4≥a2－a－2，解得－
1
2≤a≤
3
2.
13.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若 a＝2，试求函数 y＝
f(x)
x (x＞0)的最小值；
(2)对于任意的 x∈[0，2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求 a 的取值范围.
【答案】（1）－2；（2）[3
4，＋∞)
【解析】(1)依题意得 y＝
f(x)
x ＝
x2－4x＋1
x ＝x＋
1
x－4.
因为 x＞0，所以根据均值不等式可得 x＋
1
x≥2.
当且仅当 x＝
1
x时，即 x＝1 时，等号成立.
所以 y≥－2.
所以当 x＝1 时，y＝
f(x)
x 的最小值为－2.
(2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1.
所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式 f(x)≤a 成立”，
只要“x2－2ax－1≤0 在[0，2]恒成立”.
不妨设 g(x)＝x2－2ax－1，
则只要 g(x)≤0 在[0，2]上恒成立即可.
所以{g(0) ≤ 0，
g(2) ≤ 0，
即{0－0－1 ≤ 0，
4－4a－1 ≤ 0，
解得 a≥
3
4.
则 a 的取值范围为[3
4，＋∞).
14.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝
3－ax
a－1 (a≠1).
(1)若 a＞0，求 f(x)的定义域；
(2)若 f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）(－∞，
3
a]；（2）(－∞，0)∪(1，3]
【解析】(1)当 a＞0 且 a≠1 时，由 3－ax≥0 得 x≤
3
a，即函数 f(x)的定义域是(－∞，
3
a].
(2)当 a－1＞0，即 a＞1 时，要使 f(x)在(0，1]上是减函数，则需 3－a×1≥0，此时 1＜a≤3.
当 a－1＜0，即 a＜1 时，要使 f(x)在(0，1]上是减函数，则需－a＞0，且 3－a×1≥0，此时 a＜0.
综上所述，所求实数 a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，3].
15.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数 a 的取值范围；
(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在 y＝2x＋2m＋1 图像的上方，试确定实数 m 的取值范围.
【答案】（1）f(x)＝2x2－4x＋3；（2）0
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