资料简介
第三单元 函数
第 20 课 函数的平均变化率
一、基础巩固
1．已知函数 f(x)＝x2＋1，当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
【答案】B
【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选
B.
2．函数 y＝1 在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0 B．1 C．3 D．Δx
【答案】A
【解析】Δy
Δx＝1－1
Δx ＝0.
3．质点运动规律为 s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋ 9
Δt
C．12＋2Δt D．12
【答案】C
【解析】Δs
Δt＝[2(3＋Δt)2＋5]－(2 × 32＋5)
Δt ＝12＋2Δt.
4．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
【答案】C
【解析】根据平均变化率的定义，可知
Δy
Δx＝
(2a＋b)－(a＋b)
2－1 ＝a＝3，故选 C.
5．已知函数 f(x)的定义域为 A，如果对于定义域内某个区间 I 上的任意两个不同的自变量 x1，x2，
都有f(x1)－f(x2)
x1－x2 ＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
【答案】A
【解析】①当 x1＞x2 时，x1－x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增
函数．当 x1＜x2 时，x1－x2＜0，则 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增函数．综
上可知 f(x)在区间 I 上是增函数，故选 A.
6．函数 y＝－x2＋x 在 x＝－1 附近的平均变化率为________．
【答案】3－Δx
【解析】Δy
Δx＝
－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋(－1)2－(－1)
Δx
＝3－Δx.
7．汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]
上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
【答案】v1＜v2＜v3
【解析】v1＝s(t1)－s(t0)
t1－t0 ＝kOA，v2＝s(t2)－s(t1)
t2－t1 ＝kAB，v3＝s(t3)－s(t2)
t3－t2 ＝kBC，而由图像知 kOA＜kAB
＜kBC，
∴v1＜v2＜v3.
8．函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均
变化率的值为________．
【答案】6x0＋3Δx 12.3
【解析】函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)
(x0＋Δx)－x0
＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)
Δx
＝6x0·Δx＋3(Δx)2
Δx ＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，
函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
9．判断函数 g(x)＝k
x(k＜0，k 为常数)在(－∞，0)上的单调性．
【答案】增函数
【解析】设 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1＜x2，则 g(x1)－g(x2)＝ k
x1－ k
x2＝k(x2－x1)
x1x2 ，
Δy
Δx＝g(x1)－g(x2)
x1－x2 ＝－ k
x1x2.
∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴Δy
Δx＝－ k
x1x2＞0，
∴g(x)＝k
x(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．
10．已知函数 f(x)＝2x－1
x＋1 ，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【答案】（1）增函数；（2）最大值5
4，最小值3
2
【解析】(1)函数 f(x)在[3,5]上是增函数．
证明：设任意 x1，x2 满足 3≤x1＜x2≤5，则
f(x1)－f(x2)＝2x1－1
x1＋1 －2x2－1
x2＋1
＝
(2x1－1)(x2＋1)－(2x2－1)(x1＋1)
(x1＋1)(x2＋1)
＝ 3(x1－x2)
(x1＋1)(x2＋1)，
所以Δy
Δx＝f(x1)－f(x2)
x1－x2 ＝ 3
(x1＋1)(x2＋1).
因为 3≤x1＜x2≤5，所以 x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以Δy
Δx＝ 3
(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以 f(x)＝2x－1
x＋1 在[3,5]上是增函数．
(2)f(x)min＝f(3)＝2 × 3－1
3＋1 ＝5
4，
f(x)max＝f(5)＝2 × 5－1
5＋1 ＝3
2.
二、拓展提升
11．若函数 f(x)＝－x2＋10 的图像上一点(3
2，31
4 )及邻近一点(3
2＋Δx，31
4 ＋Δy)，则Δy
Δx＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【答案】D
【解析】∵Δy＝f(3
2＋Δx)－f(3
2 )＝－3Δx－(Δx)2，
∴Δy
Δx＝
－3Δx－(Δx)2
Δx ＝－3－Δx，故选 D.
12.函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2，
则 k1 与 k2 的大小关系为( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
【答案】D
【解析】k1＝f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx ＝2x0＋Δx，k2＝f(x0)－f(x0－Δx)
Δx ＝2x0－Δx.因为 Δx 可大于零也可小
于零，所以 k1 与 k2 的大小关系不确定．
13．已知曲线 y＝1
x－1 上两点 A(2，－1
2)，B2＋Δx，－1
2＋Δy，当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为
________．
【答案】－1
6
【解析】∵Δy＝( 1
2＋Δx－1)－(1
2－1 )
＝ 1
2＋Δx－1
2＝2－(2＋Δx)
2(2＋Δx) ＝
－Δx
2(2＋Δx)，
∴Δy
Δx＝
－Δx
2(2＋Δx)
Δx ＝
－1
2(2＋Δx)，
即 k＝Δy
Δx＝－ 1
2(2＋Δx).
∴当 Δx＝1 时，k＝－ 1
2 × (2＋1)＝－1
6.
14．如图是函数 y＝f(x)的图像，则函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
【答案】3
4
【解析】由函数 f(x)的图像知，
f(x)＝Error!
所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f(2)－f(0)
2－0 ＝
3－3
2
2 ＝3
4.
15．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a
x ，x∈[1，＋∞)．
(1)当 a＝1
2时，求函数 f(x)的最小值；
(2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）7
2 （2）(－3，＋∞)
【解析】(1)当 a＝1
2时，f(x)＝x＋ 1
2x＋2.
设 1≤x1＜x2，则 f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·(1－ 1
2x1x2)，
∴Δy
Δx＝f(x2)－f(x1)
x2－x1 ＝2x1x2－1
2x1x2 .
∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，
∴Δy
Δx＝2x1x2－1
2x1x2 ＞0，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝7
2.
(2)在区间[1，＋∞)上 f(x)＞0 恒成立⇔x2＋2x＋a＞0 恒成立．
设 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数 y＝x 2＋2x＋a＝(x＋1) 2＋a－1 在区间[1，＋∞)上是增函
数．
所以当 x＝1 时，y 取最小值，即 ymin＝3＋a，
于是当且仅当 ymin＝3＋a＞0 时，函数 f(x)＞0 恒成立，
故 a＞－3，实数 a 的取值范围为(－3，＋∞).
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