资料简介
第二单元 等式与不等式
第 16 课 第 2 章 章末综合
一、基础巩固
1、已知 a，b 为非零实数，且 a
4、已知不等式 的解集为 的解集为 B,若不等式 的解集为
,则 ( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
【答案】A
【解析】由题意,知 ,所以 ,由根与系数的
关系,可知 ,所以 ,故选 A.
5、关于 x 的不等式 的解集为 ,则关于 x 的不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,知方程 的两根为-1 和 3,所以 或 解
得 ,则不等式 为 ，解得 ,即不等式 的
解集为 ,故选 A.
6、若关于 x 的不等式 的解集是 M,则对任意常数 k,总有( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不等式 可变形为 ,即 .∵
,当且仅当 时,等号成立.∵ ,∴
.故选 A.
7、若不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
2 2 3 0x x− − < 2, 6 0A x x+ − < 2 0x ax b+ + < A B∩ a b+ = { } { }| 1 3 , | 3 2A x x B x x= − < < = − < < { }| 1 2A B x x∩ = − < < 1, 2a b= − = − 3a b+ = − [ ]( ) ( 1) (1 ) 0x b a x b+ − + − > ( , 1) (3, )−∞ − ∪ +∞
2 2 0x bx a+ − < ( 2,5)− 1 1( , )2 5 − ( 2,1)− 1( ,1)2 − [ ]( ) ( 1) (1 ) 0x b a x b+ − + − = 1 1 31 b b a − = − − = − 3 1 11 b b a − = − = − − 5 3 a b = = − 2 2 0x bx a+ − < 2 3 10 0x x− − < 2 5x− < < 2 2 0x bx a+ − < { }| 2 5x x− < < 2 4(1 ) 4k x k+ ≤ + 2 ,0M M∈ ∈ 2 ,0M M∉ ∉ 2 ,0M M∈ ∉ 2 ,0M M∉ ∈ 2 4(1 ) 4k x k+ ≤ + 4 2 4 1 kx k +≤ + 4 2 4| 1 kM x x k += ≤ + 4 2 2 2 4 51 2 2 5 21 1 k kk k + = + + − ≥ −+ + 2 2 51 1k k + = + 2 5 2 2− >
2 ,0M M∈ ∈
2
2
1 2 3 ( 0)1 3
aax ax
−+ ≥ >+
( ]0,9 [ )9,+∞ 1 ,9
+∞
1(0, )9
【解析】原不等式转化为 ,又 ,则
,当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 ,解得 .
8、若两个正实数 满足 ,且存在这样的 使不等式 有解,则实数 m 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵不等式 有解,∴ ,∵ ,且 ,∴
,当且仅当 ,即 时取“=”,∴
,故 .即 ,解得 或 ,∴实数 m 的取值范围是
.故选 C.
9、已知关于 x 的方程 有两个大于 2 的实数根,则实数 m 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设关于 x 的方程 的两个根分别为 ,则由根与系数的关系,知
,所以由题意知 ,即 ,所以
.
10、在 R 上定义运算 ,若 ,使不等式 恒成立,则实数 m 的
取值范围为( )
A. B.
2
2
1 2( 1) 1 3a x x
+ + ≥+ 0a >
2 2
2 2
1 1( 1) 2 ( 1) 21 1a x a x ax x
+ + ≥ + ⋅ =+ +
2
2
1( 1) 1a x x
+ = + 2 2
1
( 1)a x
= +
22 3a ≥ 1
9a ≥
,x y 1 4 1x y
+ = ,x y 2 34
yx m m+ < + { }| 1 4m m− < < { }| 4 1m m− < < { }| 4 1m m m< − >或 { }| 3 0m m m< − >或
2 34
yx m m+ < + 2 min( ) 34 yx m m+ < + 0, 0x y> > 1 4 1x y
+ =
1 4 4 4( )( ) 2 2 2 44 4 4 4
y y x y x yx x x y y x y x
+ = + + = + + ≥ ⋅ + = 4
4
x y
y x
= 2, 8x y= =
min( ) 44
yx + = 2 3 4m m+ > ( 1)( 4) 0m m− + > 4m < − 1m >
{ }| 4 1m m m< − >或
2 ( 2) 5 0x m x m+ − + − =
[ )5, 4− − ( ]5, 4− − (4,5) [ )4,5
2 ( 2) 5 0x m x m+ − + − = 1 2,x x
1 2 1 2( 2), 5x x m x x m+ = − − = − 1 2
1 2
0
2 2 0
( 2)( 2) 0
x x
x x
∆ ≥
− + − >
− − >
2( 2) 4(5 ) 0
( 2) 4 0
5 2( 2) 4 0
m m
m
m m
− − − ≥
− − − >
− + − + >
5 4m− < ≤ − ( 1)a b a b∗ = + 1 2x∀ ≤ ≤ ( ) ( ) 4m x m x− ∗ + < 3 5| 2 2m m − <
0, 0c dab a b
> − > 0bc ad− >
0, 0c dbc ad a b
− > − > 0ab >
0, 0ab bc ad> − > 0c d bc ad
a b ab
−− = > 0, 0c dab a b
> − > 0bc ad
ab
− >
0bc ad− > 0, 0c dbc ad a b
− > − > 0bc ad
ab
− > 0ab >
Rx∈ 23 2 0x x+ − < 2( 1, )3 − 23 2 0x x+ − < (3 2)( 1) 0x x− + < 21 3x− < < 1 2,x x 2 22( 1) 2 0x k x k− + + + = 1 2( 1)( 1) 8x x+ + =
【解析】由根与系数的关系,得 .∵ ,∴ ,即
,整理,得 ,解得 或 .∵ ,∴
,∴ .
14、已知正实数 满足 ,则 的最小值为_________.
【答案】
【解析】∵ ,∴ ,∴
,当且仅当
时,等号成立,∴ 的最小值为 .
15、已知不等式 .
(1)若对任意实数 x,不等式恒成立,求实数 m 的取值范围;
(2)若对于 ,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)不等式变形为 ,
即 ,
∵对任意实数 x,不等式恒成立,
∴ ,解得 ,
∴实数 m 的取值范围是 .
(2)将 x 看成参数,m 看成自变量,不等式转化为 ,
即 .
当 ,即 时, ,
则 ,即 ,解得 ,
故 且 ,
当 ,即 时,原不等式恒成立.
1 2
2
1 2
2( 1)
2
x x k
x x k
+ = +
= + 1 2( 1)( 1) 8x x+ + = 1 2 1 2 1 8x x x x+ + + =
2 2 2( 1) 1 8k k+ + + + = 2 2 3 0k k+ − = 3k = − 1k = 2 24( 1) 4 8 0k k∆ = + − − >
1
2k > 1k =
,a b 4a b+ = 1 1
1 3a b
++ +
1
2
4a b+ = 1 3 8a b+ + + =
[ ]1 1 1 1 1 1 3 1( 1) ( 3) ( ) (2 )1 3 8 1 3 8 1 3
b aa ba b a b a b
+ ++ = + + + + = + ++ + + + + +
1 1(2 2)8 2
≥ × + =
1 3
3 1
a b
b a
+ +=+ +
1 1
1 3a b
++ +
1
2
2 4 4x mx x m+ > + −
0 4m≤ ≤
2 ( 4) 4 0x m x m+ − + − >
2
24 ( 4)( ) 42 4
m mx m
− −+ > + −
2( 4) 4 ( 4) 04 4
m mm m
− + − = − < 0 4m< < (0,4) 2( 1) 4 4 0m x x x− + − + >
2( 1) ( 4 4)x m x x− > − − +
1 0x − > 1x >
2 4 4
1
x xm x
− +> −
2 4 4 01
x x
x
− + 2x ≠
1x > 2x ≠
1 0x − = 1x =
当 ,即 时, ,
则 ,即 ,解得 ,故 且 ,
综上,实数 x 的取值范围是 .
1 0x − < 1x < 2 4 4 1 x xm x − +< − 2 4 4 41 x x x − + >−
2 0x > 0x ≠ 1x < 0x ≠ ( ,0) (0,2) (2, )−∞ ∪ ∪ +∞
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