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第二单元 等式与不等式
第 10 课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、基础巩固
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
【答案】B
【解析】A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选 B.
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0 可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0 可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0 可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0 可化为(x－2)2＝4
【答案】D
【解析】A.2y2－4y－4＝0 可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0 可化为(x－1)2＝10，
故选项错误；C.x2＋8x－9＝0 可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0 可化为(x－2)2＝4，故选
项正确．故选 D.
3．一元二次方程 x2＋6x＋9＝0 的解集情况是( )
A．只有一个元素 B．有两个元素
C．为空集 D．不能确定有几个元素
【答案】A
【解析】∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程 x2＋6x＋9＝0 有两个相等的实数根，故选 A.
4．若 α，β是一元二次方程 3x2＋2x－9＝0 的两个根，则
β
α＋
α
β的值是( )
A.
4
27 B．－
4
27
C．－
58
27 D.
58
27
【答案】C
【解析】由题知 α＋β＝－
2
3，αβ＝－3，
所以
β
α＋
α
β＝
（α＋β）2－2αβ
αβ ＝－
58
27.
5．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋
m
4＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.若
1
x1＋
1
x2＝4m，
则 m 的值是( )
A．2 B．－1
C．2 或－1 D．不存在
【答案】A
【解析】由题知{m ≠ 0，
Δ＝（m＋2）2－4m·m
4 > 0，
解得 m>－1 且 m≠0.
因为 x1＋x2＝
m ＋2
m ，x1x2＝
1
4，
所以
1
x1＋
1
x2＝
x1＋x2
x1x2 ＝
m ＋2
m
1
4
＝4m，
所以 m＝2 或－1.
因为 m>－1，所以 m＝2.
6.若 x1，x2 是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个实数根，则 x1＋x2＋x1x2＝________.
【答案】－3
【解析】由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.
7．若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－m＝0 的解集中只有一个元素，则 m 的值为________．
【答案】－1
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－m＝0 的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即
22－4(－m)＝0，解得 m＝－1.
8．一元二次方程 x2－2x－5
4＝0 的某个根，也是一元二次方程 x2－(k＋2)x＋9
4＝0 的根，求 k 的
值．
【答案】－7 或7
5
【解析】x2－2x－5
4＝0，
移项得 x2－2x＝5
4，
配方得 x2－2x＋1＝9
4，即(x－1)2＝9
4，
开方得 x－1＝±3
2，
解得 x1＝5
2，x2＝－1
2.
①把 x＝5
2代入 x2－(k＋2)x＋9
4＝0 中，
得 (5
2 )2－5
2(k＋2)＋9
4＝0，
解得 k＝7
5.
②把 x＝－1
2代入 x2－(k＋2)x＋9
4＝0 中，
得 (－1
2 )2＋1
2(k＋2)＋9
4＝0，
解得 k＝－7.
当 k＝7
5或－7 时，b2－4ac＝(k＋2)2－9 都大于 0，
综上所述，k 的值为－7 或7
5.
二、拓展提升
9．已知实数 x1，x2 满足 x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以 x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系 x1＋x2＝－b
a，x1x2＝c
a即可判断 A 正确，故选 A.
10．已知关于 x 的方程 m(x＋a)2＋n＝0 的解集是{－3,1}，则关于 x 的方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 的
解集是________．
【答案】{－1,3}
【解析】把后面一个方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 中的 x－2 看作整体，相当于前面一个方程中的 x.
∵关于 x 的方程 m(x＋a)2＋n＝0 的解集是{－3,1}，
∴方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 可变形为 m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中 x－2＝－3 或 x－2＝1，解得
x＝－1 或 x＝3.
∴关于 x 的方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 的解集是{－1,3}．
11．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化
为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当 y＝1 时，|x|＝1，∴x＝±1；
当 y＝2 时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数 x 满足 x2＋ 1
x2－3x－3
x＝2，求 x＋1
x的值．
【答案】（1）x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3 ；（2）x＋1
x＝4
【解析】 (1)设 x2＝a，则原方程可化为 a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1 或 a＝9，
当 a＝1 时，x2＝1，∴x＝±1；
当 a＝9 时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是 x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设 x＋1
x＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即 y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1 或 y＝4，
即 x＋1
x＝－1(方程无解，舍去)或 x＋1
x＝4，
故 x＋1
x＝4.
12．已知 x1，x2 是一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
(1)是否存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝
3
2成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理
由．
(2)求使
x1
x2＋
x2
x1－2 的值为整数的实数 k 的整数值．
【答案】（1）k＝－
9
7；（2）k＝－2 或 k＝－3 或 k＝－5
【解析】Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k
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