资料简介
1
第四章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．如果 mn＝ab，那么下列比例式中错误的是( C )
A．
a
m＝
n
b B．
a
n＝
m
b C．
m
a＝
n
b D．
m
a＝
b
n
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应中线，若 AD＝
10，A′D′＝6，则△ABC 与△A′B′C′的周长比是( C )
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥
BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( D )
A．
AB
AE＝
AG
AD B．
DF
CF＝
DG
AD C．
FG
AC＝
EG
BD D．
AE
BE＝
CF
DF
第3题图
第4题图
第6题图
4．(2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则相似三角形共有
( C )
A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对
5．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知
这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( A )
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
6．(2019·巴中)如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE∶AD＝1∶3，连结 EF
交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG＝( D )
A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9
7．(2019·锦州)在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，M 是对角线 BD 上的动点，过点 M 作
ME⊥BC 于点 E，连接 AM，当△ADM 是等腰三角形时，ME 的长为( C )
A．
3
2 B．
6
5 C．
3
2或
3
5 D．
3
2或
6
5
第8题图
第9题图
第10题图
8．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0).以点 C 为
位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2
倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( D )
A．－
1
2a B．－
1
2(a＋1) C．－
1
2(a－1) D．－
1
2(a＋3)
9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝
∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C )
A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5
10．(2019·东营)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，过点 O 作射
线 OM，ON 分别交 BC，CD 于点 E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF 交于点 G.给出下列结论：
①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的
1
4；④DF2＋
BE2＝OG·OC.其中正确的是( B )2
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．若 x∶y＝1∶2，则
x－y
x＋y＝__－
1
3__．
12．(连云港中考)如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝
1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__1∶9__．
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
13．(2019·阜新)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AC 边上的一点，DE 垂直
平分 AB，垂足为点 E.若 AC＝8，BC＝6，则线段 DE 的长度为__
15
4 __．
14．(2019·烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△
ABO 的顶点坐标分别为 A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1 的顶点坐标分别为
A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO 与△A1B1O1 是以点 P 为位似中心的位似图形，
则 P 点的坐标为__(－5，－1)__．
15．(2019·无锡)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝4 5，D 为边 AB 上一动点(B 点
除外)，以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则△BDE 面积的最大值为__8__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点
E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE
∽△CAD (2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2＝12，∵
1
2·AD·BD＝
1
2·AB·DE，∴DE＝
60
13
17．(9 分)(凉山州中考)如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知
△ABC 三个顶点分别为 A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).
(1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且相
似比为 2，并求出△A2B2C2 的面积．
解：(1)如图所示，△A 1B1C1 就是所求三角形 (2)如图所示，△A 2B2C2 就是所求三角
形．分别过点 A2，C2 作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E，F，∵A(－
1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2 与△ABC 位似，且相似比为 2，∴A2(－2，4)，B2(4，
2) ， C2(8 ， 10) ， ∴ S △ A2B2C2 ＝ 8×10 －
1
2×6×2 －
1
2×4×8 －
1
2×6×10 ＝ 28 3
18．(9 分)如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC，E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，
交 BC 于点 F.
(1)求证：△ABF∽△ECF；
(2)如果 AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE 的长．
解：(1)∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF (2)∵AD＝BC，AD＝
5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴
BA
CE＝
BF
CF，即
8
CE＝
3
2.∴CE＝
16
3 cm
19．(9 分)(福建中考)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根
据给出的△ABC 及线段 A′B′，∠A′(∠A′＝∠A)，以线段 A′B′为一边，在给出的图形
上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已
有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求
4
(2)已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，
A′B′
AB ＝
B′C′
BC ＝
A′C′
AC ＝k，D 是 AB 的中点，
D′是 A′B′的中点，求证：
C′D′
CD ＝k.证明：∵D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，∴
AD＝
1
2AB，A′D′＝
1
2A′B′，∴
A′D′
AD ＝
1
2A′B′
1
2AB
＝
A′B′
AB ，∵△ABC∽△A′B′C′，∴
A′B′
AB
＝
A′C′
AC ，∠A′＝∠A，∵
A′D′
AD ＝
A′C′
AC ，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴
C′D′
CD
＝
A′C′
AC ＝k
20．(9 分)(2019·雅安)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别交
AB，CD 于点 E，F，EF 的延长线交 CB 的延长线于 M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若 AD＝4，AB＝6，BM＝1，求 BE 的长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE 和△COF 中，{∠OAE＝∠OCF，
OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF( ASA)，∴OE＝OF (2)过点 O 作
ON∥BC 交 AB 于 N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝
1
2BC＝2，BN＝
1
2AB＝3，∵ON∥BC，∴△
ONE∽△MBE，∴
ON
BM＝
NE
BE，即
2
1＝
3－BE
BE ，解得 BE＝1
21．(10 分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军
一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，
两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其
影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF
恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6
米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长．(结果精确到
0.01 米)5
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴
CA
MN＝
AD
ND，∴
1.6
MN ＝
1 × 0.8
（5＋1） × 0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△
MFN，∴
EB
MN＝
BF
NF，∴
EB
9.6＝
2 × 0.8
（2＋9） × 0.8，∴EB≈1.75，∴小军身高约为 1.75 米
22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别
交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H.
(1)求 DE 的长；
(2)求证：∠1＝∠DFC.
(1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝
∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，∴
CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴
AD
CF＝
DE
CE，设 DE＝x，则
3
5＝
x
4－x，解得 x＝
3
2，∴DE＝
3
2 (2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵
AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴
DG
BG＝
AD
BH，∴
DG
5－DG＝
3
5，∴DG＝
15
8 ，∵DE＝
3
2，∴
DE
DG＝
DC
DB＝
4
5，∴
EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC
23．(11 分)(苏州中考)问题 1：如图①，在△ABC 中，AB＝4，D 是 AB 上一点(不与 A，
B 重合)，DE∥BC，交 AC 于点 E，连接 CD.设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积为 S′.
(1)当 AD＝3 时，
S′
S ＝________；
(2)设 AD＝m，请你用含字母 m 的代数式表示
S′
S .
问题 2：如图②，在四边形 ABCD 中，AB＝4，AD∥BC，AD＝
1
2BC，E 是 AB 上一点(不与
A，B 重合)，EF∥BC，交 CD 于点 F，连接 CE.设 AE＝n，四边形 ABCD 的面积为 S，△EFC 的
面积为 S′.请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代数式表示
S′
S .6
解：问题 1：(1)∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4－3＝1，∵DE∥BC，∴
CE
EA＝
BD
AD＝
1
3，∴
S △ DEC
S △ ADE
＝
EC
AE＝
1
3＝
3
9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
S △ ADE
S △ ABC＝(
3
4)2＝
9
16，∴
S △ DEC
S △ ABC＝
3
16，即
S′
S ＝
3
16 (2)∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4－m，∵DE∥BC，∴
CE
EA＝
BD
AD＝
4－m
m ，∴
S △ DEC
S △ ADE＝
CE
AE＝
4－m
m ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
S △ ADE
S △ ABC＝(
m
4)2＝
m2
16，∴
S △ DEC
S △ ABC＝
S △ DEC
S △ ADE·
S △ ADE
S △ ABC＝
4－m
m ·
m2
16＝
－m2＋4m
16 ，即
S′
S ＝
－m2＋4m
16 问题 2：如图②，分别延长 BA，CD 交于点 O，∵AD
∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴
OA
OB＝
AD
BC＝
1
2，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4＋n，∵
EF∥BC，由问题 1 的解法可知：
S △ CEF
S △ OBC＝
S △ CEF
S △ OEF·
S △ OEF
S △ OBC＝
4－n
4＋n×(
4＋n
8 )2＝
16－n2
64 ，∵
S △ OAD
S △ OBC＝(
OA
OB)2＝
1
4，∴
S四边形ABCD
S △ OBC ＝
3
4，∴
S △ CEF
S四边形ABCD＝
S △ CEF
3
4S △ OBC
＝
4
3×
16－n2
64 ＝
16－n2
48 ，即
S′
S ＝
16－n2
48
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