资料简介
1
第一章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列命题中，真命题是( C )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方
形
2．(2019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中
点，则 OE 的长是 ( A )
A．2.5 B．3 C．4 D．5
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
3．(兰州中考)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ADB＝30°，AB＝4，
则 OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3.若 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BF⊥AE
交 AE 于点 F，则 BF 的长为( B )
A．
3 10
2 B．
3 10
5 C．
10
5 D．
3 5
5
5．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠
AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为( D )
A．(2， 3) B．( 3，2) C．( 3，3) D．(3， 3)
6．(2019·泸州)一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和
为( C )
A．8 B．12 C．16 D．32
7．(广东中考)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF 为边的正方
形 EFGH 的周长为( B )
A． 2 B．2 2 C． 2＋1 D．2 2＋1
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2，0)，B(1，1).若平移点 A 到点 C，
使以点 O，A，C，B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( D )
A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
B．向左平移(2 2－1)个单位，再向上平移 1 个单位
C．向右平移 2个单位，再向上平移 1 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使
它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得 AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A )
A． 2 B．2 C． 6 D．2 2
10．(2019·包头)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AE＝
AF，∠EAF＝60°，则 CF 的长是( C )
2
A．
3＋1
4 B．
3
2 C． 3－1 D．
2
3
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·十堰)如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，
若 OE＝3，则菱形的周长为__24__．
12．(青岛中考)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 为对角线 AC 的中点，
连接 BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度．
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
13．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的
点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰
撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边
碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是__673__．
14．(2019·菏泽)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝
2，则四边形 BEDF 的周长是__8 5__．
15．(2019·内江)如图，点 A，B，C 在同一直线上，且 AB＝
2
3AC，点 D，E 分别是 AB，BC
的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部
分)的面积分别记作 S1、S2、S3，若 S1＝ 5 ，则 S2＋S3＝__
3 5
4 __．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(2019·岳阳)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD，CD 边上的点，DE＝
DF，求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，在△ADF 和△CDE 中，{AD＝CD，
∠D＝∠D，
DF＝DE，
∴△ADF≌△
CDE(SAS)，∴∠1＝∠2
17．(9 分)(湘西州中考)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长．
3
解：(1)在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.在△ADE
与 △BCE 中 ， AD ＝ BC ， ∠ A ＝ ∠B ， AE ＝ BE ， ∴ △ ADE ≌ △ BCE(SAS) (2) 由 (1) 知
△ADE≌△BCE，则 DE＝EC，在 Rt△ADE 中，AD＝4，AE＝
1
2AB＝3，由勾股定理知 DE＝ AD2＋AE2
＝5，∴△CDE 的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝2×5＋6＝16
18．(9 分)(2019·青海)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的
中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形 ADCF 是菱形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵△ABC 是直角三角形，AD 是 BC 边上的中线，
E 是 AD 的中点，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AEF 和△DEB 中， {∠AFE＝∠DBE，
∠AEF＝∠BED，
AE＝DE，
∴△AEF≌△
DEB(AAS) (2)由(1)知 AF＝BD，且 BD＝CD，∴AF＝CD，且 AF∥BC，∴四边形 ADCF 是平行
四边形，∵∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，∴AD＝
1
2BC＝CD，∴四边形 ADCF 是菱形
19．(9 分)(上海中考)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E 是对角线 BD 上一点，
且 EA＝EC.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)如果 BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形 ABCD 是正方形．
证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝
∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴
四边形 ABCD 为平行四边形，∵AD＝CD，∴▱ABCD 是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵
∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝45°，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝
90°，∴四边形 ABCD 是正方形
20．(9 分)(遵义中考)如图，在矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BE＝DF，连
接 EF，与 BC，AD 分别相交于 P，Q 两点．
(1)求证：CP＝AQ；
4
(2)若 BP＝1，PQ＝2 2，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积．
证明：(1)易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，∵∠
AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝ 2BP＝
2，∴EQ＝PE＋PQ＝ 2＋2 2＝3 2，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝
BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴S 矩形 ABCD＝AB·AD＝2×4＝8
21．(10 分)(2019·天门)如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，
且 BE＝CF，过点 E 作 EG∥BF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF.求证：
(1)AE⊥BF；
(2)四边形 BEGF 是平行四边形．
证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF
＝90°，在△ABE 和△BCF 中，{AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF，
BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝
∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE
⊥EG，∴AE⊥BF
(2)延长 AB 至点 P，使 BP＝BE，连接 EP，如图所示：则 AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝
45°，∵CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由(1)得∠BAE＝
∠CEG，在△APE 和△ECG 中，{∠P＝∠ECG，
AP＝CE，
∠BAE＝∠CEG，
∴△APE≌△ECG(ASA)，∴AE＝EG，∵AE＝
BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形 BEGF 是平行四边形
5
22．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上
一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于点 E，垂足为 F，连接 CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当 D 在 AB 中点时，四边形 CDBE 是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 CDBE 是正方形？请说明
你的理由．
证 明 ： (1)∵DE⊥BC ， ∴ ∠ DFB ＝ 90 ° . ∵ ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴ ∠ ACB ＝
∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即 CE∥AD，∴四边形 ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD (2)四边
形 CDBE 是菱形，理由：∵D 为 AB 中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边
形 CDBE 是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D 为 AB 中点，∴CD＝BD.∴四边形 CDBE 是菱形 (3)
当∠A＝45°时，四边形 CDBE 是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A
＝45°，∴AC＝BC.∵D 为 AB 中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形 CDBE 是菱形，∴
四边形 CDBE 是正方形
23．(11 分)(1)如图①，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP
于点 E，交线段 AB 于点 M，交线段 CD 于点 N，证明：AP＝MN；
(2)如图②，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP，
分别交 AB，AP，BD，DC 于点 M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN；
(3)若正方形 ABCD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值．
解：(1)过 B 点作 BH∥MN 交 CD 于点 H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形 MBHN 为平行四边
形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.
在△ABP 与△BCH 中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH，∴AP＝BH，∴
AP＝MN (2)连接 FA，FP，FC.∵正方形 ABCD 是轴对称图形，F 为对角线 BD 上一点，∴FA＝
FC.又∵FE 垂直平分 AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝
∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠
AFP＝90°.∴FE＝
1
2AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)由(2)有 EF＝
1
2
MN，∵AC，BD 是正方形的对角线，∴BD＝2 2.当点 P 和点 B 重合时，EF 最小，最小值＝
1
2MN
＝
1
2AB＝1.当点 P 和点 C 重合时，EF 最大，最大值＝
1
2MN＝
1
2BD＝ 2
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