资料简介
1
第 14 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的一组是( B )
A．1，2， 3 B．2，3，4 C．5，13，12 D．
3
5，
4
5，1
2．对于命题“如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2”用反证法证明，应假设( D )
A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
3．如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD 且 EF∥BC 交 AC 于点 M，若 CM＝5，
则 CE2＋CF2 等于( B )
A．75 B．100 C．120 D．125
第3题图
第4题图
第6题图
4．(2019·贵阳)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB
于点 B 和点 D，再分别以点 B，D 为圆心，大于
1
2BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线
CM 交 AB 于点 E.若 AE＝2，BE＝1，则 EC 的长度是( D )
A．2 B．3 C． 3 D． 5
5．△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，下列说法错误的是( D )
A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC 为直角三角形
B．若∠C＝90°，则 c2－a2＝b2
C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC 是直角三角形
D．若 a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形
6．如图，一架长 25 分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角 E 7 分
米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯子的底部将平移( D )
A．9 分米 B．15 分米 C．5 分米 D．8 分米
7．(2019·益阳)已知M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点 A 为圆心，AN
长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC
一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》
中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形
纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( C )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
第8题图
第9题图
第10题图
9．(信阳期中)如图，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形(AE＞DE)剪去了一角，
量得 AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为( D )
A．5 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm
10．(2019·河南)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别
以点 A，C 为圆心，大于
1
2AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC
2
于点 O.若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为( A )
A．2 2 B．4 C．3 D． 10
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设
一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
12．(2019·西藏)若实数 m，n 满足|m－3|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是直角三角形的
两条边，则该直角三角形的斜边长为__5__．
13．(长春中考)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人
们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD 和四边形 EFGH 都是正方
形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE 是四个全等的直角三角形．若 EF＝2，DE＝8，则 AB 的长
为 10．
14．(黄冈中考)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5
cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，
则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20cm(杯壁厚度不计).
第13题图
第14题图
第15题图
15．如图，在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D 是 BC 边的中点，P 是 AB 边上一
动点，则 PC＋PD 的最小值是 5．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.
证明：假设 PB＝PC，又∵AB＝AC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC，这与
已知∠APB≠∠APC 相矛盾，∴假设不成立，即 PB≠PC
17．(9 分)如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB
的度数．
3
解：135°
18．(9 分)有人说：如果 Rt△ABC 的三边是 a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以 an，bn，cn(n
是大于 1 的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．
(1)这个说法是否正确？请说明理由；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．
解：(1)正确，理由略 (2)逆命题：如果以an，bn，cn(n 是大于 1 的正整数)为三边的
三角形是直角三角形，那么以 a，b，c 为三边的三角形也是直角三角形；真命题
19．(9 分)(2019·泰州)如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8.
(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点 D，求 BD 的长．
解：(1)如图直线 MN 即为所求
(2)∵MN 垂直平分线段 AB，∴DA＝DB，设 DA＝DB＝x，在 Rt△ACD 中，∵AD2＝AC2＋
CD2，∴x2＝42＋(8－x)2，解得 x＝5，∴BD＝5
20．(9 分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一 C 处需要爆破，
已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B 的距离为 400 米，
且 CA⊥CB，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 260 米范围内不得进入，问在进行爆破时，
公路 AB 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
4
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，由勾股定理得 AB＝500 米，由 S△ABC＝
1
2AB·CD＝
1
2AC×BC，
得 CD＝240 米＜260 米，∴公路 AB 段有危险，需要暂时封锁
21．(10 分)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为 AB
边上一点，求证：AD2＋DB2＝DE2.
解：证明：易证△ACE≌△BCD，∴AE＝DB，∠CAE＝∠B，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝∠CAD
＋∠B＝90°，∴AE2＋AD2＝DE2，即 DB2＋AD2＝DE2
22．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
作AD ⊥ BC于点D，
设BD＝x，用含x的
代数式表示CD
→
根据勾股定理，利用
AD作为“桥梁”，建
立方程模型求出x
→
利用勾股定理求
出AD的长，再
计算三角形面积
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；
(2)填空：在△DEF 中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF 的面积是 24．
解：(1)在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设 BD＝x，则 CD＝14－x，由勾股定理
得：AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故 152－x2＝132－(14－x)2，
解得 x＝9，∴AD＝12.∴S△ABC＝
1
2BC·AD＝
1
2×14×12＝84
(2)如图，在△DEF 中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，设 GD＝x，则 GE＝15－x，由勾股定
理得：FG2＝DF2－GD2＝42－x2，FG2＝EF2－EG2＝132－(15－x)2.故 42－x2＝132－(15－x)2，
解得 x＝2.4.∴FG＝3.2.∴S△DEF＝
1
2DE·FG＝
1
2×15×3.2＝24.故答案为：24
5
23．(11 分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务，渔
政船位于南海的 O 处执行任务，一艘外国渔船从点 O 正东方向 25 海里的 A 处，以 20 海里/
时的速度沿 AB 方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．
(1)已知渔政船到 AB 的距离 OD 长为 7 海里，那么外国渔船从 A 点行驶到 D 点经过多长
时间？
(2)若在 A，D 之间的点 C 处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路
程相等，此时 C，D 两处相距多远？
(3)如果渔政船周围 8 海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区
内行驶多长时间？
解：
(1)AD＝ OA2－OD2＝24 海里，外国渔船从 A 点行驶到 D 点经过的时间为 24÷20＝
1.2(小时) (2)设 CD＝x 海里，则 OC＝AC＝(24－x)海里，由 x2＋72＝(24－x)2，解得 x＝
527
48 ，
∴C，D 两处相距
527
48 海里
(3)在 AB 上取 E，F 两点，使 OE＝OF＝8 海里，E 点为外国渔船进入禁区地点，F 点为外
国渔船驶离禁区地点，由三线合一得 DE＝DF，∵DE＝ OE2－OD2＝ 15(海里)，∴EF＝2 15
海里，所以外国渔船会在我渔政船禁区内行驶
2 15
20 ＝
15
10 (小时)
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