资料简介
1
第 21 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·盐城)若 x-2有意义,则 x 的取值范围是( A )
A.x≥2 B.x≥-2 C.x>2 D.x>-2
2.(2019·河南)下列计算正确的是( D )
A.2a+3a=6a B.(-3a)2=6a2 C.(x-y)2=x2-y2 D.3 2- 2=2 2
3.设实数 a,b 在数轴上对应的位置如图所示,化简 a2+|a+b|的结果是( D )
A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b
4.(聊城中考)计算(5
1
5-2 45)÷(- 5)的结果为( A )
A.5 B.-5 C.7 D.-7
5.在根式① a2+b2;②
x
5;③ x2-xy;④ 27abc中,最简二次根式是( C )
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
6.已知 n 是一个正整数, 180n是整数,则 n 的最小值是( B )
A.3 B.5 C.15 D.25
7.当 1<a<2 时,代数式 (a-2)2+|1-a|的值是( B )
A.-1 B.1 C.2a-3 D.3-2a
8.已知实数 x,y 满足|x-4|+ y-8=0,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周
长是( B )
A.20 或 16 B.20 C.16 D.以上选项都不正确
9.若 (x-4)(5-x)= x-4· 5-x,则 x 可取的整数值有( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:
2+ 3
2- 3=
(2+ 3)(2+ 3)
(2- 3)(2+ 3)=7+4 3,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简
一些有特点的无理数,如:对于 3+ 5- 3- 5,设 x= 3+ 5- 3- 5,易知
3+ 5> 3- 5, 故 x > 0 , 由 x2 = ( 3+ 5- 3- 5)2 = 3 + 5+ 3 - 5- 2
(3+ 5)(3- 5)=2,解得 x= 2,即 3+ 5- 3- 5= 2,根据以上方法,
化简
3- 2
3+ 2+ 6-3 3- 6+3 3后的结果为( D )
A.5+3 6 B.5+ 6 C.5- 6 D.5-3 6
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·黄冈)计算( 3)2+1 的结果是__4__.
12.(2019·菏泽)已知 x= 6+ 2,那么 x2-2 2x 的值是__4__.
13.我们赋予“※”一个实际含义,规定 a※b= a· b+
a
b,计算 3※5=__
6
5 15
__.
14.(2019·枣庄)观察下列各式:2
1+
1
12+
1
22=1+
1
1 × 2=1+(1-
1
2),
1+
1
22+
1
32=1+
1
2 × 3=1+(
1
2-
1
3),
1+
1
32+
1
42=1+
1
3 × 4=1+(
1
3-
1
4),
……
请利用你发现的规律,计算:
1+
1
12+
1
22+ 1+
1
22+
1
32+ 1+
1
32+
1
42+ … + 1+
1
20182+
1
20192其 结 果 为 __2018
2018
2019__.
15.(莱芜中考)如图,正三角形和矩形具有一条公共边,矩形内有一个正方形,其四个
顶点都在矩形的边上,正三角形和正方形的面积分别是 2 3和 2,则图中阴影部分的面积
是__2__.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)计算:
(1) 2( 2+
1
2)-
18- 8
2 ; (2) (大连中考)( 3+2)2- 48+2-2.
解:2 解:
29
4
17 . (9 分 ) 若 a , b , c 是 △ABC 的 三 边 , 化 简 : (a-b-c)2- |b - c - a| +
(c-a-b)2.
解:-a+3b-c
18.(9 分)已知 a=2 3-b+ 3b-9+2,求
ab-1
a+b ÷ a· b的值.
解:∵{3-b ≥ 0,
3b-9 ≥ 0,∴b=3,∴a=2,∴ab=6,a+b=5,∴原式=
5
5÷ 2× 3=
1
2 63
19.(9 分)(2019·襄阳)先化简,再求值:(
x
x-1-1)÷
x2+2x+1
x2-1 ,其中 x= 2-1.
解:原式=(
x
x-1-
x-1
x-1)÷
x2+2x+1
x2-1 =
1
x-1×
(x+1)(x-1)
(x+1)2 =
1
x+1,当 x= 2-
1 时,原式=
1
2-1+1=
2
2
20.(9 分)已知矩形的长 a=
1
2 32,宽 b=
1
3 18.
(1)求矩形的周长;
(2)求与矩形等面积的正方形的周长,并比较与矩形周长的大小关系.
解:(1)矩形周长=2(a+b)=6 2
(2)设正方形边长为 x,由 x2=
1
2 32×
1
3 18,得 x=2,∴正方形的周长=8<6 2,∴
正方形的周长小于矩形的周长
21.(10 分)已知 a= 2-1,b= 2+1.
求:(1)a2b+ab2 的值;(2)
b
a+
a
b的值.
解:∵ab=1,a+b=2 2,∴(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2 2 (2)
b
a+
a
b=
(a+b)2
ab -2
=(2 2)2-2=6
22.(10 分)已知 9+ 11与 9- 11的小数部分分别为 a,b,求 ab-3a+4b-7 的
值.
解:∵3< 11<4,∴9+ 11的小数部分为 11-3,即 a= 11-3,9- 11的小数4
部分为 4- 11,即 b=4- 11,∴ab-3a+4b-7=( 11-3)(4- 11)-3( 11-3)+
4(4- 11)-7=-5
23.(11 分)在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如
3
5,
2
3,
2
3+1一样的式子,
其实我们还可以将其进一步化简:
3
5=
3 × 5
5 × 5=
3
5 5;(一)
2
3=
2 × 3
3 × 3=
6
3 ;(二)
2
3+1=
2 × ( 3-1)
( 3+1)( 3-1)=
2( 3-1)
( 3)2-12= 3-1;(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
3+1还可以用以下方法化简:
2
3+1=
3-1
3+1=
( 3)2-12
3+1 =
( 3+1)( 3-1)
3+1 = 3-1.(四)
请用不同的方法化简
2
5+ 3.
(1)①参照(三)式得
2
5+ 3=__________;
②参照(四)式得
2
5+ 3=__________;
(2)化简:
1
3+1+
1
5+ 3+
1
7+ 5+…+
1
2n+1+ 2n-1.
解:(1)①
2( 5- 3)
( 5+ 3)( 5- 3)=
2( 5- 3)
( 5)2-( 3)2= 5- 3 ②
5-3
5+ 3
=
( 5)2-( 3)2
5+ 3 =
( 5+ 3)( 5- 3)
5+ 3 = 5- 3 (2) 原 式 =
3-1
2 +
5- 3
2 +…+
2n+1- 2n-1
2 =
3-1+ 5- 3+…+ 2n+1- 2n-1
2 =
-1+ 2n+1
25
第 22 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.若(n-2)xn2-2+x-1=0 是一元二次方程,则 n 的值为( C )
A.2 或-2 B.2 C.-2 D.0
2.(2019·怀化)一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是( C )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=2
3.(2019·湘西州)一元二次方程 x2-2x+3=0 根的情况是( C )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
4.(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2-4x+1=0 时,下列变形正确的是( D )
A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5
C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3
5.(2019·自贡)关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 无实数根,则实数 m 的取值范围6
是( D )
A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1
6.(2019·通辽)一个菱形的边长是方程 x2-8x+15=0 的一个根,其中一条对角线长
为 8,则该菱形的面积为( B )
A.48 B.24 C.24 或 40 D.48 或 80
7.(2019·广东)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2-2x=0 的两个实数根,下列结论错误
的是( D )
A.x1≠x2 B.x12-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
8.(2019·广西)扬帆中学有一块长 30 m,宽 20 m 的矩形空地,计划在这块空地上划出
四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为 x m,
则可列方程为( D )
A.(30-x)(20-x)=
3
4×20×30
B.(30-2x)(20-x)=
1
4×20×30
C.30x+2×20x=
1
4×20×30
D.(30-2x)(20-x)=
3
4×20×30
9.某商店购进一种商品,单价为 30 元.试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每
件的销售价 x(元)满足关系:P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元
的利润,根据题意,下面所列方程正确的是( A )
A.(x-30)(100-2x)=200 B.x(100-2x)=200
C.(30-x)(100-2x)=200 D.(x-30)(2x-100)=200
10.如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根,且其中一个根为另一个
根的三倍,则称这样的方程为“3 倍根方程”,以下说法不正确的是( B )
A.方程 x2-4x+3=0 是 3 倍根方程
B.若关于 x 的方程(x-3)(mx+n)=0 是 3 倍根方程,则 m+n=0
C.若 m+n=0 且 m≠0,则关于 x 的方程(x-3)(mx+n)=0 是 3 倍根方程
D.若 3m+n=0 且 m≠0,则关于 x 的方程 x2+(m-n)x-mn=0 是 3 倍根方程
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·资阳)a 是方程 2x2=x+4 的一个根,则代数式 4a2-2a 的值是__8__.
12.(2019·西藏)一元二次方程 x2-x-1=0 的根是__x1=
1+ 5
2 ,x2=
1- 5
2 __.
13.(2019·吉林)若关于 x 的一元二次方程(x+3) 2=c 有实数根,则 c 的值可以为
__5(答案不唯一,只要 c≥0 即可)__(写出一个即可).
14.(2019·宜宾)某产品每件的生产成本为 50 元,原定销售价为 65 元,经市场预测,7
从现在开始的第一季度销售价格将下降 10%,第二季度又将回升 5%.若要使半年以后的销售
利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为 x ,根据题意可列方程是__65×(1 -
10%)×(1+5%)-50(1-x)2=65-50__.
15.(2019·宁夏)你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法
呢!以方程 x2+5x-14=0 即 x(x+5)=14 为例加以说明.数学家赵爽(公元 3~4 世纪)在
其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x+
x+5)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即 4×14+52,据此易得 x
=2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上)中,能够
说明方程 x2-4x-12=0 的正确构图是__②__.(只填序号)
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)解下列方程:
(1)(徐州中考)2x2-x-1=0; (2)(x-2)2=(2x+5)2.
解:x1=-
1
2,x2=1 解:x1=-1,x2=-7
17.(9 分)(2019·呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16 的实数根.
解:原方程化为一般形式为 2x2-9x-34=0,x2-
9
2x=17,x2-
9
2x+
81
16=17+
81
16,(x-
9
4)2=
353
16 ,x-
9
4=±
353
4 ,所以 x1=
9+ 353
4 ,x2=
9- 353
4
18.(9 分)(2019·大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为
24200 元.
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元?
解:(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x,根据题意得 20000(1+
x)2=24200,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去),答:2016 年到 2018 年该村
人均收入的年平均增长率为 10% (2)24200×(1+10%)=26620(元),答:预测 2019 年村该
村的人均收入是 26620 元
19.(9 分)(2019·衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2-3x+k=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0 与方程 x2-
3x+k=0 有一个相同的根,求此时 m 的值.8
解:(1)根据题意得 Δ=(-3)2-4k≥0,解得 k≤
9
4 (2)k 的最大整数为 2,方程 x2-3x
+k=0 变形为 x2-3x+2=0,解得 x1=1,x2=2,∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0
与方程 x2-3x+k=0 有一个相同的根,∴当 x=1 时,m-1+1+m-3=0,解得 m=
3
2;当 x
=2 时,4(m-1)+2+m-3=0,解得 m=1,而 m-1≠0,∴m 的值为
3
2
20.(9 分)(2019·南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长 50m,宽
40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩建
后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米 100 元.如果计划总费用 642000
元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
解:设扩充后广场的长为 3x m,宽为 2x m,依题意得 3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)
=642000,解得 x1=30,x2=-30(舍去).所以 3x=90,2x=60,答:扩充后广场的长为 90
m,宽为 60 m
21.(10 分)(2019·鄂州)已知关于 x 的方程 x2-2x+2k-1=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)设方程的两根分别是 x1,x2,且
x2
x1+
x1
x2=x1·x2,试求 k 的值.
解 : (1)∵ 原 方 程 有 实 数 根 , ∴ b2 - 4ac≥0 , ∴ ( - 2)2 - 4(2k - 1)≥0 , ∴ k ≤ 1
(2)∵x1,x2 是方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=2,x1 ·x2 =2k
-1,又∵
x2
x1+
x1
x2=x1·x2,∴
x12+x22
x1·x2 =x1·x2,∴(x1+x2)2-2x1 x2 =(x1 ·x2)2,∴22-2(2k
-1)=(2k-1)2 ,解得 k1=
5
2 ,k2=-
5
2 .∵k≤1,∴k=-
5
29
22.(10 分)某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤,第一个月以单价 80 元销售,
售出了 200 件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决定
降价销售,根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 10 件,但最低单价应高于购进的价
格;第二个月结束后,批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售,清仓时单价为 40 元,设第
二个月单价降低 x 元.
(1)填表(不需化简):
时 间 第一个月 第二个月 清仓时
单 价(元) 80 40
销售量(件) 200
(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元?
解:(1)第二个月上面从下到下依次填:80-x;200+10x;清仓时的下面填:800-200
-(200+10x) (2)依题意得 80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]
-50×800=9000,解得 x1=x2=10,当 x=10 时,80-x=70>50,即第二个月的单价应是
70 元
23.(11 分)(2019·重庆)某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅,50 平方
米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍.物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费,
该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费.
(1)该小区每月可收取物管费 90000 元,问该小区共有多少套 80 平方米的住宅?
(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司 5 月初推出活动一:“垃圾分类送礼
物”,50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动.为提离大家的积扱性,
6 月份准备把活动一升级为活动二:“拉圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调査与
测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6 月份
参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 2a%,每户
物管费将会减少
3
10a%;6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户
数的基础上将增加 6a%,每户物管费将会减少
1
4a%.这样,参加活动的这部分住户 6 月份总共
缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少
5
18a%,求 a 的值.
(1)解:设该小区有 x 套 80 平方米住宅,则 50 平方米住宅有 2x 套,由题意得:2(50×2x
+80x)=90000,解得 x=250,答:该小区共有 250 套 80 平方米的住宅
(2)参与活动一:50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元,有 500×40%=200(户)参与
活动一,80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元,有 250×20%=50(户)参与活动一;参与
活动二:50 平方米住宅每户所交物管费为 100(1-
3
10a%)元,有 200(1+2a%)户参与活动二;
80 平方米住宅每户所交物管费为 160(1-
1
4a%)元,有 50(1+6a%)户参与活动二.由题意得10
100(1-
3
10a%)·200(1+2a%)+160(1-
1
4a%)·50(1+6a%)=[200(1+2a%)×100+50(1+
6a%)×160](1-
5
18a%),令 t=a%,化简得 t(2t-1)=0,∴t1=0(舍去),t2=
1
2,∴a=50,
答:a 的值为 50
第 23 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·黄冈)已知点 A 的坐标为(2,1),将点 A 向下平移 4 个单位长度,得到的点 A
′的坐标是( D )
A.(6,1) B.(-2,1) C.(2,5) D.(2,-3)
2.(2019·西藏)如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边上的中点,则△ADE 与△ABC
的面积之比是( A )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.2∶1
第2题图
第5题图
第6题图
第7题图
3.已知 x∶y=3∶2,则下列各式中不正确的是( D )
A.
x+y
y =
5
2 B.
x-y
y =
1
2 C.
x
x+y=
3
5 D.
x
y-x=
3
1
4.(重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 5 cm,
6 cm 和 9 cm,另一个三角形的最短边长为 2.5 cm,则它的最长边为( C )11
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
5.(2019·赤峰)如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 上的点,∠ADE=∠ACB,若 AD=
2,AB=6,AC=4,则 AE 的长是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2019·盘锦)如图,点 P(8,6)在△ABC 的边 AC 上,以原点 O 为位似中心,在第一
象限内将△ABC 缩小到原来的
1
2,得到△A′B′C′,点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标
为( A )
A.(4,3) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,4)
7.(绍兴中考)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置,
已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆 C 端应下
降的垂直距离 CD 为( C )
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
8.(2019·海南)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点 P 是边 AC 上一动
点,过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为
( B )
A.
8
13 B.
15
13 C.
25
13 D.
32
13
第8题图
第9题图
第10题图
9.(2019·贵港)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 边上,DE∥BC,∠ACD=
∠B,若 AD=2BD,BC=6,则线段 CD 的长为( C )
A.2 3 B.3 2 C.2 6 D.5
10.(2019·鸡西)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,AB=AC,过点 A 作边 BC
的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E,点 F 是垂足,连接 BE,DF,DF 交 AC 于点 O.则下列结论:
①四边形 ABEC 是正方形;②CO∶BE=1∶3;③DE= 2BC;④S 四边形 OCEF=S△AOD,正确的个
数是( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线 a,b 与 l1,l2,l3 分别相交于点 A,B,C 和
点 D,E,F.若 AB=3,DE=2,BC=6,则 EF=__4__.
第11题图
第13题图
第14题图
第15题图
12.(2019·抚顺)如果把两条直角边长分别为 5,10 的直角三角形按相似比
3
5进行缩小,
得到的直角三角形的面积是__9__.
13.(2019·百色)如图,△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,
若点 A(2,2),B(3,4),C(6,1),B′(6,8),则△A′B′C′的面积为__18__.
14.(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,
股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 5 步,股
(长直角边)长为 12 步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答
案是__
60
17__步.
15.(2019·宜宾)如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且点 A,C,E 在同一直线上,12
AD 与 BE,BC 分别交于点 F,M,BE 与 CD 交于点 N.下列结论正确的是__①③④__(写出所有
正确结论的序号).
①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④
1
MN=
1
AC+
1
CE.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)(原创题)已知线段 a,b,c 满足
a
3=
b
2=
c
6,且 a+2b+c=26.
(1)判断 a,2b,c,b2 是否成比例;
(2)若实数 x 为 a,b 的比例中项,求 x 的值.
解:(1)成比例 (2)x=±2 6
17.(9 分)如图,已知 AB∥CD,AD,BC 相交于点 E,F 为 EC 上一点,且∠EAF=∠C.
求证:AF2=FE·FB.
解:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B.又∵∠AFE=∠BFA,∴△
AFE∽△BFA,∴
AF
EF=
FB
AF,∴AF2=FE·FB
18.(9 分)(安徽中考)如图,在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格
中,已知点 O,A,B 均为网格线的交点.
(1)在给定的网格中,以点 O 为位似中心,将线段 AB 放大为原来的 2 倍,得到线段
A1B1(点 A,B 的对应点分别为 A1,B1),画出线段 A1B1;
(2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1,画出线段 A2B1;
(3)以 A,A1,B1,A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是____个平方单位.
题图
答图
解:(1)如图所示,线段 A1B1 即为所求 (2)如图所示,线段 A2B1 即为所求 (3)由图可
得,四边形 AA1B1A2 为正方形,∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22+42)2=( 20)2=20.故答案
为:20
19.(9 分)(陕西中考)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测
量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸边选择了点13
B,使得 AB 与河岸垂直,并在 B 点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线上选择点 D,竖起标杆
DE,使得点 E 与点 C,A 共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1 m,DE=1.5 m,BD=
8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽 AB.
解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴
BC
DE=
AB
AD,∴
1
1.5=
AB
AB+8.5,∴AB=17(m),经检验,
AB=17 是分式方程的解,答:河宽 AB 的长为 17 米
20.(9 分)(2019·张家界)如图,在平行四边形 ABCD 中,连结对角线 AC,延长 AB 至点
E,使 BE=AB,连结 DE,分别交 BC,AC 交于点 F,G.
(1)求证:BF=CF;
(2)若 BC=6,DG=4,求 FG 的长.
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,
∴△EBF∽△EAD,∴
BF
AD=
EB
EA=
1
2,∴BF=
1
2AD=
1
2BC,∴BF=CF (2)解:∵四边形 ABCD
是平行四边形,∴AD∥BC,∴△FGC∽△DGA,∴
FG
DG=
FC
AD,即
FG
4 =
1
2,解得 FG=2
21.(10 分)(眉山中考)如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,连结 DE,过
顶点 B 作 BF⊥DE,垂足为 F,BF 分别交 AC 于点 H,交 CD 于点 G.
(1)求证:BG=DE;
(2)若点 G 为 CD 的中点,求
HG
GF的值.
解:(1)∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°,∵∠BCG=90°,∠BGC=∠DGF,∴∠CBG=∠CDE,
在△BCG 和△DCE 中,{∠CBG=∠CDE,
BC=DC,
∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(ASA),∴BG=DE (2)设 CG=1,∵
G 为 CD 的中点,∴GD=CG=1,由(1)可知:△BCG≌△DCE(ASA),∴CG=CE=1,∴由勾股
定理可知:DE=BG= 5.∵∠DFG=∠DCE,∠FDG=∠CDE,∴△DFG∽△DCE,∴
CE
DE=
GF
GD,∴14
GF=
5
5 .∵AB∥CG,∴△ABH∽△CGH,∴
AB
CG=
BH
GH=
2
1,∴BH=
2
3 5,GH=
1
3 5,∴
HG
GF=
5
3
22.(10 分)(2019·梧州)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,AF 平分∠DAC,分别
交 DC,BC 的延长线于点 E,F;连结 DF,过点 A 作 AH∥DF,分别交 BD,BF 于点 G,H.
(1)求 DE 的长;
(2)求证:∠1=∠DFC.
(1)解:∵矩形 ABCD 中,AD∥CF,∴∠DAF=∠AFC,∵AF 平分∠DAC,∴∠DAF=
∠CAF,∴∠FAC=∠AFC,∴AC=CF,∵AB=4,BC=3,∴AC= AB2+BC2= 32+42=5,∴
CF=5,∵AD∥CF,∴△ADE∽△FCE,∴
AD
CF=
DE
CE,设 DE=x,则
3
5=
x
4-x,解得 x=
3
2,∴DE=
3
2
(2)∵AD∥FH,AH∥DF,∴四边形 ADFH 是平行四边形,∴AD=FH=3,∴CH=2,BH=5,∵
AD∥BH,∴△ADG∽△HBG,∴
DG
BG=
AD
BH,∴
DG
5-DG=
3
5,∴DG=
15
8 ,∵DE=
3
2,∴
DE
DG=
DC
DB=
4
5,∴
EG∥BC,∴∠1=∠AHC,又∵DF∥AH,∴∠AHC=∠DFC,∴∠1=∠DFC
23.(11 分)(东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图①,
在△ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 3,BO∶CO=1∶3,
求 AB 的长.经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造△ABD
就可以解决问题(如图②).
请回答:∠ADB=________,AB=________;
(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图③,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交
于点 O,AC⊥AD,AO=3 3,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求 DC 的长.
题图
答图
解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.∵∠BOD=∠COA,∴△BOD∽△COA,∴
OD
OA=
OB
OC=
1
3.又∵AO=3 3,∴OD=
1
3AO= 3,∴AD=AO+OD=4 3.∵∠BAD=30°,∠ADB=75
°,∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,∴AB=AD=4 3.故答案为:75°;4 3
(2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,如图所示.∵AC⊥AD,BE∥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°.∵
∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,∴
BO
DO=
EO
AO=
BE
DA.∵BO∶OD=1∶3,∴
EO
AO=
BE
DA=
1
3.∵AO=
3 3,∴EO= 3,∴AE=4 3.∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=15
2BE.在 Rt△AEB 中,BE2+AE2=AB2,即(4 3)2+BE2=(2BE)2,解得 BE=4,∴AB=AC=8,AD
=12.在 Rt△CAD 中,AC2+AD2=CD2,即 82+122=CD2,解得 CD=4 13
第 24 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(大庆中考)2cos 60°=( A )
A.1 B. 3 C. 2 D.
1
2
2.河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅
直高度 BC 与水平宽度 AC 之比),则 AC 的长是( A )
A.5 3米 B.10 2米 C.15 米 D.10 米
第2题图
第3题图
第6题图
3.(2019·宜昌)如图,在 5×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,△ABC
的顶点都在这些小正方形的顶点上,则 sin ∠BAC 的值为( D )
A.
4
3 B.
3
4 C.
3
5 D.
4
516
4.在△ABC 中,若 sin A=
3
2 ,tan B=1,则这个三角形是( A )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.式子 2cos30°-tan45°- (1-tan60°)2的值是( B )
A.2 3-2 B.0 C.2 3 D.2
6.如图,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC 于 E,设∠ADE=α,且 cosα=
3
5,AB=4,则 AC 的
长为( C )
A.3 B.
16
5 C.
20
3 D.
16
3
7.(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动
中对此开展测量活动.如图,在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α,
大桥主架的顶端 D 的仰角为 β,已知测量点与大桥主架的水平距离 AB=a,则此时大桥主架
顶端离水面的高 CD 为( C )
A.a sin α+a sin β B.a cos α+a cos β C.a tan α+a tan β
D.
a
tan α+
a
tan β
第7题图
第8题图
第10题图
8.(2019·营口)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,AD∥BC,BC=
1
2AD,AC 与 BD
交于点 E,AC⊥BD,则 tan ∠BAC 的值是( C )
A.
1
4 B.
2
4 C.
2
2 D.
1
3
9.(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船,于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°
方向,继续向南航行 30 海里到达 C 点时,测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向,那么海岛
B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 : 3≈1.732 , 2
≈1.414)( B )
A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D.6.21 海里
10.(2019·重庆)如图,AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量 AB 的高度,小红从建筑
物底端 B 点出发,沿水平方向行走了 52 米到达点 C,然后沿斜坡 CD 前进,到达坡顶 D 点处,
DC=BC.在点 D 处放置测角仪,测角仪支架 DE 高度为 0.8 米,在 E 点处测得建筑物顶端 A 点
的仰角∠AEF 为 27°(点 A,B,C,D,E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i=1∶2.4,
那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)(
B )
A.65.8 米 B.71.8 米 C.73.8 米 D.119.8 米
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.若 α 为锐角,cos α=
3
5,则 sin α=__
4
5__,tan α=__
4
3__.
12.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,tan A=
5
12,△ABC 的周长为 18,则 S△ABC=__
54
5 __.
13.在△ABC 中,若|2cos A-1|+( 3-tan B)2=0,则∠C=__60°__.
14.(2019·天门)如图,为测量旗杆 AB 的高度,在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的
仰角为 60°,在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°,点 C 与点 B 在同一水平线上.已17
知 CD=9.6 m,则旗杆 AB 的高度为__14.4__m.
第14题图
第15题图
15.(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速,他们将观测点设
在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处,如图所示,直线 l 表示公路,一辆小汽车由
公路上的 B 处向 C 处匀速行驶,用时 5 秒,经测量,点 B 在点 A 北偏东 45°方向上,点 C
在点 A 北偏东 60°方向上,这段公路最高限速 60 千米/小时,此车__没有超速__(填“超速”
或“没有超速”).(参考数据: 3≈1.732)
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)解下列各题:
(1)先化简,再求代数式(
1
x+
x+1
x )÷
x+2
x2+x的值,其中 x= 3cos30°+
1
2;
解:x=2,原式=x+1=3
(2)已知 α 是锐角,且 sin (α+15°)=
3
2 .计算 8-4cos α-(π-3.14)0+tan α
+(
1
3)-1 的值.
解:α=45°,原式=3
17.(9 分)(2019·十堰)如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,AD=3 m,坝高 AE=DF=
6 m,坡角 α=45°,β=30°,求 BC 的长.
解:由图得,AE,DF 为高,则四边形 AEFD 是矩形,有 AE=DF=6,AD=EF=3,∵坡角
α=45°,β=30°,∴BE=AE=6,CF= 3DF=6 3,∴BC=BE+EF+CF=6+3+6 3=
9+6 3,答:BC 的长(9+6 3)m
18.(9 分)(2019·梧州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 上一点,AB=5,BD
=1,tan B=
3
4.
(1)求 AD 的长;
(2)求 sin α的值.
题图
答图
解:(1)∵tan B=
3
4,可设 AC=3x,得 BC=4x,∵AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,
解得 x=-1(舍去)或 x=1,∴AC=3,BC=4,∵BD=1,∴CD=3,∴AD= CD2+AC2=3 2
(2)如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∵tan B=
3
4,可设 DE=3y,则 BE=4y,∵BE2+DE2
=BD2,∴(4y)2+(3y)2=12,解得 y=-
1
5(舍)或 y=
1
5,∴DE=
3
5,∴sin α=
DE
AD=
1
10 2
19.(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造.如图是风景秀美
的观景山,从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从 D 到 A 修建
电动扶梯,经测量,山高 AC=154 米,步行道 BD=168 米,∠DBC=30°,在 D 处测得山顶 A18
的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号).
题图
答图
解:作DE⊥BC 于 E,则四边形 DECF 为矩形,∴FC=DE,DF=EC,在 Rt△DBE 中,∠DBC
=30°,∴DE=
1
2BD=84,∴FC=DE=84,∴AF=AC-FC=154-84=70,在 Rt△ADF 中,∠
ADF=45°,∴AD= 2AF=70 2,答:电动扶梯 DA 的长为 70 2米
20.(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 AB,CD 均垂直于地面,
点 E 在线段 BD 上,在 C 点测得点 A 的仰角为 30°,点 E 的俯角也为 30°,测得 B,E 间的
距离为 10 米,立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高.(结果保留根号)
题图
答图
解:如图,作 CH⊥AB 于 H,则四边形 HBDC 为矩形,∴BD=CH,由题意得,∠ACH=30
°,∠CED=30°,设 CD=x 米,则 AH=(30-x)米,在 Rt△AHC 中,HC=
AH
tan ∠ACH= 3
(30-x),则 BD=CH= 3(30-x),∴ED= 3(30-x)-10,在 Rt△CDE 中,
CD
DE=tan ∠
CED,即
x
30 3- 3x-10=
3
3 ,解得 x=15-
5
3 3,答:立柱 CD 的高为(15-
5
3 3)米
21.(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中,两艘专业救助船 A,B 同时收到某事故渔
船的求救讯息,已知此时救助船 B 在 A 的正北方向,事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°
方向上,在救助船 B 的西南方向上,且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离;
(2)若救助船 A,B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往
事故渔船 P 处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
题图
答图
解:(1)如图所示:作PC⊥AB 于 C,则∠PCA=∠PCB=90°,由题意得 PA=120 海里,∠
A=30°,∠BPC=45°,∴PC=
1
2PA=60 海里,△BCP 是等腰直角三角形,∴BC=PC=60 海
里,PB= 2PC=60 2海里,答:收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2
海里
(2)∵PA=120 海里,PB=60 2海里,救助船 A,B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小
时的速度同时出发,∴救助船 A 所用的时间为
120
40 =3(小时),救助船 B 所用的时间为
60 2
30 =
2 2(小时),∵3>2 2,∴救助船 B 先到达
22.(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学
楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度 AB,他站在距离教
学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处,测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°,同时测得教学楼窗
户 D 处的仰角为 30°(A,B,D,E 在同一直线上).然后,小明沿坡度 i=1∶1.5 的斜坡从 C
走到 F 处,此时 DF 正好与地面 CE 平行.
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号);
(2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°,求宣传牌的高度 AB(结果精确到
0.1 米, 2≈1.41, 3≈1.73).19
题图
答图
解:(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G,依题意知 FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°,∴四边形 DEGF
是矩形,∴FG=DE,在 Rt△CDE 中,DE=CE·tan ∠DCE=6×tan 30°=2 3(米),∴点 F
到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i=1∶1.5,∴在 Rt△CFG 中,CG=1.5FG
=2 3×1.5=3 3,∴FD=EG=3 3+6.在 Rt△BCE 中,BE=CE·tan ∠BCE=6×tan 60°
=6 3.∴AB=AD+DE-BE=3 3+6+2 3-6 3=6- 3≈4.3 (米),答:宣传牌的高度
约为 4.3 米
23.(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料:
如图①,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,可以得到:S△ABC=
1
2ab
sin C=
1
2ac sin B=
1
2bc sin A.证明:过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.在 Rt△ABD 中,sin B=
AD
c ,∴AD=c·sin B,∴S△ABC=
1
2a·AD=
1
2ac sin B,同理:S△ABC=
1
2ab sin C,S△ABC=
1
2bc
sin A,∴S△ABC=
1
2ab sin C=
1
2ac sin B=
1
2bc sin A.
(1)通过上述材料证明:
a
sin A=
b
sin B=
c
sin C;
(2)运用(1)中的结论解决问题:如图②,在△ABC 中,∠B=15°,∠C=60°,AB=20
3,求 AC 的长度;
(3)如图③,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择 A,B,C 三个测量点,在 B 点
测得 A 在北偏东 75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶 18km 到达 C 点,测得 A 在北偏西
45°方向上,根据以上信息,求 A,B,C 三点围成的三角形的面积.(本题参考数值:sin 15
°≈0.3,sin 120°≈0.9, 2≈1.4,结果取整数)
解:(1)∵
1
2ab sin C=
1
2ac sin B,∴b sin C=c sin B,∴
b
sin B=
c
sin C,同理得,
a
sin A=
c
sin C,∴
a
sin A=
b
sin B=
c
sin C (2)由题意,得∠B=15°,∠C=60°,AB=
20 3,∴
AB
sin C=
AC
sin B,即
20 3
sin 60°=
AC
sin 15°,∴
20 3
3
2
=
AC
0.3,∴AC=40×0.3=12
(3)由题意,得∠ABC=90°-75°=15°,∠ACB=90°-45°=45°,∠A=180°-15°-
45°=120°,由
a
sin A=
b
sin B=
c
sin C,得
18
sin 120°=
AC
sin 15°,∴AC=6 km,∴S△
ABC=
1
2AC×BC×sin ∠ACB=
1
2×6×18×0.7≈38(km2)20
第 25 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·广西)下列事件为必然事件的是( B )
A.打开电视机,正在播放新闻 B.任意画一个三角形,其内角和是 180°
C.买一张电影票,座位号是奇数号 D.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
2.(2019·海南)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,
当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( D )21
A.
1
2 B.
3
4 C.
1
12 D.
5
12
3.(2019·泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表:
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为 1000,则“正面朝上”的频数最接近( C )
A.20 B.300 C.500 D.800
4.(镇江中考)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形,并使得各个扇形的面
积都相等,然后他在这些扇形区域内分别标连续偶数数字 2,4,6,…,2n(每个区域内标
注 1 个数字,且各区域内标注的数字互不相同),转动转盘 1 次,当转盘停止转动时,若事
件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是
5
6,则 n 的取值为( C )
A.36 B.30 C.24 D.18
5.有三张正面分别写有数字-1,1,2 的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片
背面朝上洗匀后,随机抽取一张,以其正面的数字作为 a 的值,然后再从剩余的两张卡片中
随机抽取一张,以其正面的数字作为 b 的值,则点(a,b)在第二象限的概率是( B )
A.
1
6 B.
1
3 C.
1
2 D.
2
3
6.(武汉中考)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字 1,2,
3,4.随机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之积
为偶数的概率是( C )
A.
1
4 B.
1
2 C.
3
4 D.
5
6
7.(2019·柳州)小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳
的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为( A )
A.
13
25 B.
12
25 C.
4
25 D.
1
2
8.(2019·随州)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,BD,AE 交于点 O,若
随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为( B )
A.
1
16 B.
1
12 C.
1
8 D.
1
6
9.(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为 a,b.那么
方程 x2+ax+b=0 有解的概率是( D )
A.
1
2 B.
1
3 C.
8
15 D.
19
36 22
10.(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字
1
4,
1
2,1 的卡片,
乙中有三张标有数字 1,2,3 的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:
从甲中任取一张卡片,将其数字记为 a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为 b.若 a,b 能
使关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获
胜.则乙获胜的概率为( C )
A.
2
3 B.
5
9 C.
4
9 D.
1
3
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·遵义)小明用 0~9 中的数字给手机设置了六位开机密码,但他把最后一位
数字忘记了,小明只输入一次密码就能打开手机的概率是__
1
10__.
12.(2019·扬州)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下:
抽取的毛绒玩
具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率
m
n 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中,任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__0.92__.(精确
到 0.01)
13.(2019·重庆)一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数.连续
掷两次骰子,在骰子向上的一面上,第二次出现的点数是第一次出现的点数的 2 倍的概率是
__
1
12__.
14.(2019·娄底)如图,随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,能让灯泡发光的概率是__
2
3__.
15.(娄底中考)从 2018 年高中一年级学生开始,湖南省全面启动高考综合改革,学生
学习完必修课程后,可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政
治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中,自主选择 3 个科目参加等级考试.学生 A
已选物理,还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科,再从化学、生物 2 个理科科
目中选 1 科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等,选化学、生物的可能性相等,则
选修地理和生物的概率为__
1
6__.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)在一个不透明的袋子中,装有 9 个大小和形状一样的小球,其中 3 个红球,
3 个白球,3 个黑球,它们已在口袋中被搅匀,现在有一个事件:从口袋中任意摸出 n 个球,
在这 n 个球中,红球、白球、黑球至少各有一个.
(1)当 n 为何值时,这个事件必然发生?23
(2)当 n 为何值时,这个事件不可能发生?
(3)当 n 为何值时,这个事件可能发生?
解:(1)当 n=7 或 8 或 9 时,这个事件必然发生 (2)当 n=1 或 2 时,这个事件不可能
发生 (3)当 n=3 或 4 或 5 或 6 时,这个事件可能发生
17.(9 分)(2019·玉林)某校有 20 名同学参加市举办的“文明环保,从我做起”征文
比赛,成绩分别记为 60 分,70 分,80 分,90 分,100 分,为方便奖励,现统计出 80 分,90
分,100 分的人数,制成如图不完整的扇形统计图,设 70 分所对扇形圆心角为 α.
(1)若从这 20 份征文中,随机抽取一份,则抽到试卷的分数为低于 80 分的概率是__
2
5
__;
(2)当 α=108°时,求成绩是 60 分的人数;
(3)设 80 分为唯一众数,求这 20 名同学的平均成绩的最大值.
解:(1)低于 80 分的征文数量为 20×(1-30%-20%-10%)=8,则抽到试卷的分数为低
于 80 分的概率是
8
20=
2
5,故答案为:
2
5 (2)当 α=108°时,成绩是 70 分的人数为 20×
108
360
=6(人),则成绩是 60 分的人数 20-6-20×(10%+20%+30%)=2(人) (3)∵80 分的人数
为:20×30%=6(人),且 80 分为成绩的唯一众数,所以当 70 分的人数为 5 人时,这个班的
平 均 数 最 大 , ∴ 最 大 值 为 : (20×10% × 100 + 20×20% × 90 + 20×30% × 80 + 5×70 +
3×60)÷20=78.5(分)
18.(9 分)(淮安中考)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分
别标有数字 1,-2,3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点 A 的横
坐标,再从余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点 A 的纵坐标.
(1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果;
(2)求点 A 落在第四象限的概率.
解:(1)列表得:
1 -2 3
1 (1,-2) (1,3)
-2 (-2,1) (-2,3)
3 (3,1) (3,-2)
(2)由表可知,共有 6 种等可能结果,其中点 A 落在第四象限的有 2 种结果,所以点 A
落在第四象限的概率为
2
6=
1
3
18.(9 分)已知在一个不透明的口袋中有 4 个形状、大小、材质完全相同的球,其中 1
个红色球,3 个黄色球.
(1)从口袋中随机取出一个球(不放回),接着再取出一个球,请用画树状图或列表的方
法求取出的两个都是黄色球的概率;
(2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个,一段时间后他记不清具体放入红色24
球和黄色球的个数,只记得放入一种球的个数比另一种的个数多 1,且从口袋中取出一个黄
色球的概率为
2
3,请问小明又放入该口袋中红色球和黄色球各多少个?
解:(1)图表略,P(两个都是黄色球)=
6
12=
1
2 (2)①若小明又放入红色球 m 个,则黄色
球(m+1)个,∴袋中球的总数为 5+2m,于是有
4+m
5+2m=
2
3,则 m=2;②若小明又放入红色球
(m+1)个,则黄色球 m 个,∴
3+m
5+2m=
2
3,则 m=-1(舍去).故小明又放入该口袋中 2 个红色
球和 3 个黄色球
19.(9 分)(2019·孝感)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数字-2,-
1,0,1,它们除了数字不同外,其它完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是__
1
4__;
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标;
然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点 M 的纵坐标.如图,
已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1),请
用画树状图或列表法,求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率.
解:(1)在-2,-1,0,1 中正数有 1 个,∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是
1
4,
故答案为:
1
4 (2)列表如下:
-2 -1 0 1
-2 (-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2)
-1 (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1)
0 (-2,0) (-1,0) (0,0) (1,0)
1 (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1)
由表知,共有 16 种等可能结果,其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的
有:(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)
这 8 个,所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率为
1
2
20.(10 分)(2019·广州)某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调
查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
组别 时间/小时 频数/人数
A 组 0≤t<1 2
B 组 1≤t<2 m
C 组 2≤t<3 1025
D 组 3≤t<4 12
E 组 4≤t<5 7
F 组 t≥5 4
题图
答图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求频数分布表中 m 的值;
(2)求 B 组,C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;
(3)已知 F 组的学生中,只有 1 名男生,其余都是女生,用列举法求以下事件的概率:
从 F 组中随机选取 2 名学生,恰好都是女生.
解:(1)m=40-2-10-12-7-4=5 (2)B 组的圆心角=360°×
5
40=45°,C 组的圆
心角=360°×
10
40=90°.补全扇形统计图如图所示
(3)画树状图如图:
共有 12 个等可能的结果,恰好都是女生的结果有 6 个,∴恰好都是女生的概率为
6
12=
1
2
21.(10 分)某校九年级举行毕业典礼,需要从九(1)班的 2 名男生 1 名女生、九(2)班
的 1 名男生 1 名女生共 5 人中选出 2 名主持人.
(1)用树状图或列表法列出所有可能的情形;
(2)求 2 名主持人来自不同班级的概率;
(3)求 2 名主持人恰好是 1 男 1 女的概率.
解:(1)图表略 (2)P(不同班级)=
3
5 (3)P(1 男 1 女)=
3
5
23.(11 分)如图是甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘,甲转盘被分成 3 个面积相
等的扇形,乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形,每一个扇形都标有相应的数字,同时转动两
个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为 m,乙转盘中指针所指区域内
的数字为 n(若指针指在边界线上时,重转一次,直到指针都指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表的方法求出|m+n|>1 的概率;
(2)直接写出点(m,n)落在函数 y=-
1
x图象上的概率.
解:(1)图表略,所有等可能的结果有 12 种,其中|m+n|>1 的情况有 5 种,所以|m+n|>26
1 的概率为 P1=
5
12 (2)点(m,n)在函数 y=-
1
x上的概率为 P2=
3
12=
1
4
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