资料简介
1
第 24 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．(大庆中考)2cos 60°＝( A )
A．1 B． 3 C． 2 D．
1
2
2．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅
直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( A )
A．5 3米 B．10 2米 C．15 米 D．10 米
第2题图
第3题图
第6题图
3．(2019·宜昌)如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC
的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin ∠BAC 的值为( D )
A．
4
3 B．
3
4 C．
3
5 D．
4
5
4．在△ABC 中，若 sin A＝
3
2 ，tan B＝1，则这个三角形是( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B )
A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．2
6．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cosα＝
3
5，AB＝4，则 AC 的
长为( C )
A．3 B．
16
5 C．
20
3 D．
16
3
7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动
中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α，
大桥主架的顶端 D 的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB＝a，则此时大桥主架
顶端离水面的高 CD 为( C )
A．a sin α＋a sin β B．a cos α＋a cos β C．a tan α＋a tan β
D．
a
tan α＋
a
tan β
第7题图
第8题图
第10题图
8．(2019·营口)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝
1
2AD，AC 与 BD
交于点 E，AC⊥BD，则 tan ∠BAC 的值是( C )
A．
1
4 B．
2
4 C．
2
2 D．
1
3
9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°
方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛
B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 ： 3≈1.732 ， 2
≈1.414)( B )
2
A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里
10．(2019·重庆)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑
物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，
DC＝BC.在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点
的仰角∠AEF 为 27°(点 A，B，C，D，E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，
那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)(
B )
A．65.8 米 B．71.8 米 C．73.8 米 D．119.8 米
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．若 α 为锐角，cos α＝
3
5，则 sin α＝__
4
5__，tan α＝__
4
3__．
12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝
5
12，△ABC 的周长为 18，则 S△ABC＝__
54
5 __．
13．在△ABC 中，若|2cos A－1|＋( 3－tan B)2＝0，则∠C＝__60°__．
14．(2019·天门)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的
仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已
知 CD＝9.6 m，则旗杆 AB 的高度为__14.4__m.
第14题图
第15题图
15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设
在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处，如图所示，直线 l 表示公路，一辆小汽车由
公路上的 B 处向 C 处匀速行驶，用时 5 秒，经测量，点 B 在点 A 北偏东 45°方向上，点 C
在点 A 北偏东 60°方向上，这段公路最高限速 60 千米/小时，此车__没有超速__(填“超速”
或“没有超速”).(参考数据： 3≈1.732)
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)解下列各题：
(1)先化简，再求代数式(
1
x＋
x＋1
x )÷
x＋2
x2＋x的值，其中 x＝ 3cos30°＋
1
2；
解：x＝2，原式＝x＋1＝3
(2)已知 α 是锐角，且 sin (α＋15°)＝
3
2 .计算 8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α
＋(
1
3)－1 的值．
解：α＝45°，原式＝3
17．(9 分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3 m，坝高 AE＝DF＝
6 m，坡角 α＝45°，β＝30°，求 BC 的长．
解：由图得，AE，DF 为高，则四边形 AEFD 是矩形，有 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角
α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝ 3DF＝6 3，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6 3＝
9＋6 3，答：BC 的长(9＋6 3)m
18．(9 分)(2019·梧州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AB＝5，BD
3
＝1，tan B＝
3
4.
(1)求 AD 的长；
(2)求 sin α的值．
题图
答图
解：(1)∵tan B＝
3
4，可设 AC＝3x，得 BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，
解得 x＝－1(舍去)或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2
(2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵tan B＝
3
4，可设 DE＝3y，则 BE＝4y，∵BE2＋DE2
＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得 y＝－
1
5(舍)或 y＝
1
5，∴DE＝
3
5，∴sin α＝
DE
AD＝
1
10 2
19．(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美
的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建
电动扶梯，经测量，山高 AC＝154 米，步行道 BD＝168 米，∠DBC＝30°，在 D 处测得山顶 A
的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号).
题图
答图
解：作DE⊥BC 于 E，则四边形 DECF 为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在 Rt△DBE 中，∠DBC
＝30°，∴DE＝
1
2BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70，在 Rt△ADF 中，∠
ADF＝45°，∴AD＝ 2AF＝70 2，答：电动扶梯 DA 的长为 70 2米
20．(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB，CD 均垂直于地面，
点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B，E 间的
距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高．(结果保留根号)
题图
答图
解：如图，作 CH⊥AB 于 H，则四边形 HBDC 为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30
°，∠CED＝30°，设 CD＝x 米，则 AH＝(30－x)米，在 Rt△AHC 中，HC＝
AH
tan ∠ACH＝ 3
(30－x)，则 BD＝CH＝ 3(30－x)，∴ED＝ 3(30－x)－10，在 Rt△CDE 中，
CD
DE＝tan ∠
CED，即
x
30 3－ 3x－10＝
3
3 ，解得 x＝15－
5
3 3，答：立柱 CD 的高为(15－
5
3 3)米
21．(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船 A，B 同时收到某事故渔
船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°
方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离；
(2)若救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往
事故渔船 P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
题图
答图
解：(1)如图所示：作PC⊥AB 于 C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得 PA＝120 海里，∠
4
A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝
1
2PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60 海
里，PB＝ 2PC＝60 2海里，答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2
海里
(2)∵PA＝120 海里，PB＝60 2海里，救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小
时的速度同时出发，∴救助船 A 所用的时间为
120
40 ＝3(小时)，救助船 B 所用的时间为
60 2
30 ＝
2 2(小时)，∵3＞2 2，∴救助船 B 先到达
22．(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学
楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教
学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°，同时测得教学楼窗
户 D 处的仰角为 30°(A，B，D，E 在同一直线上).然后，小明沿坡度 i＝1∶1.5 的斜坡从 C
走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行．
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求宣传牌的高度 AB(结果精确到
0.1 米， 2≈1.41， 3≈1.73).
题图
答图
解：(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G，依题意知 FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形 DEGF
是矩形，∴FG＝DE，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2 3(米)，∴点 F
到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i＝1∶1.5，∴在 Rt△CFG 中，CG＝1.5FG
＝2 3×1.5＝3 3，∴FD＝EG＝3 3＋6.在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°
＝6 3.∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3≈4.3 (米)，答：宣传牌的高度
约为 4.3 米
23．(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料：
如图①，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：S△ABC＝
1
2ab
sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A．证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D.在 Rt△ABD 中，sin B＝
AD
c ，∴AD＝c·sin B，∴S△ABC＝
1
2a·AD＝
1
2ac sin B，同理：S△ABC＝
1
2ab sin C，S△ABC＝
1
2bc
sin A，∴S△ABC＝
1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A.
(1)通过上述材料证明：
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C；
(2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20
3，求 AC 的长度；
(3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点
测得 A 在北偏东 75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18km 到达 C 点，测得 A 在北偏西
45°方向上，根据以上信息，求 A，B，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15
°≈0.3，sin 120°≈0.9， 2≈1.4，结果取整数)
5
解：(1)∵
1
2ab sin C＝
1
2ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴
b
sin B＝
c
sin C，同理得，
a
sin A＝
c
sin C，∴
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C (2)由题意，得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝
20 3，∴
AB
sin C＝
AC
sin B，即
20 3
sin 60°＝
AC
sin 15°，∴
20 3
3
2
＝
AC
0.3，∴AC＝40×0.3＝12
(3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180°－15°－
45°＝120°，由
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C，得
18
sin 120°＝
AC
sin 15°，∴AC＝6 km，∴S△
ABC＝
1
2AC×BC×sin ∠ACB＝
1
2×6×18×0.7≈38(km2)
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