资料简介
第二章 一元二次方程测试卷(2)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.每小题给出 4 个选项,
其中只有一个是正确的)
1.(3 分)把方程 x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则 a、b、c 的值分别是( )
A.1,﹣3,10 B.1,7,﹣10 C.1,﹣5,12 D.1,3,2
2.(3 分)一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为( )
A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4
3.(3 分)如果关于 x 的一元二次方程 k2x2﹣(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实
数根,那么 k 的取值范围是( )
A.k> B.k> 且 k≠0 C.k< D.k≥ 且 k≠0
4.(3 分)用换元法解方程 ﹣ =3 时,设 =y,则原方程可
化为( )
A.y﹣ ﹣3=0 B.y﹣ ﹣3=0 C.y﹣ +3=0 D.y﹣ +3=0
5.(3 分)等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+12=0 的两个根,则这个三角形的
周长是( )
A.11 B.10 C.11 或 10 D.不能确定
6.(3 分)若分式 的值为零,则 x 的值为( )
A.3 B.3 或﹣3 C.0 D.﹣3
7.(3 分)一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
8.(3 分)在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手 10 次,设有 x
人参加这次聚会,则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=10 B. =10C.x(x+1)=10D. =10
9.(3 分)某农机厂四月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个.设
该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么 x 满足的方程是( )
A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
10.(3 分)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,且 x1+x2=﹣2,
x1•x2=1,则 ba 的值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
11.(3 分)定义运算:a⋆b=a(1﹣b).若 a,b 是方程 x2﹣x+ m=0(m<0)的
两根,则 b⋆b﹣a⋆a 的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.与 m 有关
12.(3 分)使用墙的一边,再用 13m 的铁丝网围成三边,围成一个面积为 20m2
的长方形,求这个长方形的两边长.设墙的对边长为 xm,可得方程( )
A.x(13﹣x)=20 B.x• =20 C.x(13﹣ x)=20 D.x• =20
二.填空题(每小题 3 分,共 12 分)
13.(3 分)方程 x2﹣3=0 的根是 .
14.(3 分)当 k= 时,方程 x2+(k+1)x+k=0 有一根是 0.
15.(3 分)设 m,n 分别为一元二次方程 x 2+2x﹣2018=0 的两个实数根,则
m2+3m+n= .
16.(3 分)写出以 4,﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 .
三.解答题(本题有 7 小题,共 52 分)
17.(10 分)解方程
(1)x2﹣4x﹣5=0
(2)3x(x﹣1)=2﹣2x.
18.(5 分)试证明关于 x 的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0 无论 a 取何值,该方
程都是一元二次方程.
19.(6 分)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为 2:1.在
温室内,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地,其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道.当
矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是 288m2?
20.(8 分)某种商品的标价为 400 元/件,经过两次降价后的价格为 324 元/件,
并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为 300 元/件,两次降价共售出此种商品 100 件,为使两次
降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
21.(6 分)阅读下面的例题,
范例:解方程 x2﹣|x|﹣2=0,
解:(1)当 x≥0 时,原方程化为 x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合题意,
舍去).
(2)当 x<0 时,原方程化为 x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合题意,舍
去).
∴原方程的根是 x1=2,x2=﹣2
请参照例题解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0.
22.(8 分)龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣,以 200 元/件的价格
出售,每周可售出 100 件.为了促销,该商场决定降价销售,尽快减少库存.经
调查发现,这种上衣每降价 5 元/件,每周可多售出 20 件.另外,每周的房租等
固定成本共 3000 元.该商场要想每周盈利 8000 元,应将每件上衣的售价降低多
少元?
23.(9 分)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6 厘米,BC=8 厘米.点 P 从 A 点
开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到达点 B 即停止运动),点 Q 从 C
点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动(到达点 C 即停止运动).
(1)如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ 的面积等于是△
ABC 的三分之一?
(2)如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发,而且动点 P 从 A 点出发,沿 AB
移动(到达点 B 即停止运动),动点 Q 从 C 出发,沿 CB 移动(到达点 C 即停止
运动),几秒钟后,P、Q 相距 6 厘米?
(3)如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发,而且动点 P 从 A 点出发,沿 AB
移动(到达点 B 即停止运动),动点 Q 从 C 出发,沿 CB 移动(到达点 B 即停止
运动),是否存在一个时刻,PQ 同时平分△ABC 的周长与面积?若存在求出这个
时刻的 t 值,若不存在说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.每小题给出 4 个选项,
其中只有一个是正确的)
1.(3 分)把方程 x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则 a、b、c 的值分别是( )
A.1,﹣3,10 B.1,7,﹣10 C.1,﹣5,12 D.1,3,2
【考点】一元二次方程的一般形式.
【专题】压轴题;推理填空题.
【分析】a、b、c 分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系
数、常数项.
【解答】解:由方程 x(x+2)=5(x﹣2),得
x2﹣3x+10=0,
∴a、b、c 的值分别是 1、﹣3、10;
故选 A.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c 是常数且 a≠0),在一般形式中 ax2 叫二次项,bx 叫一次项,
c 是常数项.其中 a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
2.(3 分)一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为( )
A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先把方程的常数项移到右边,然后方程两边都加上 32,这样方程左边就
为完全平方式.
【解答】解:x2﹣6x﹣5=0,
x2﹣6x=5,
x2﹣6x+9=5+9,
(x﹣3)2=14,
故选:A.
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0):先把二次
系数变为 1,即方程两边除以 a,然后把常数项移到方程右边,再把方程两边加
上一次项系数的一半.
3.(3 分)如果关于 x 的一元二次方程 k2x2﹣(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实
数根,那么 k 的取值范围是( )
A.k> B.k> 且 k≠0 C.k< D.k≥ 且 k≠0
【考点】根的判别式.
【专题】压轴题.
【分析】若一元二次方程有两不等根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于 k
的不等式,求出 k 的取值范围.
【解答】解:由题意知,k≠0,方程有两个不相等的实数根,
所以△>0,△=b2﹣4ac=(2k+1)2﹣4k2=4k+1>0.
又∵方程是一元二次方程,∴k≠0,
∴k> 且 k≠0.
故选 B.
【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
注意方程若为一元二次方程,则 k≠0.
4.(3 分)用换元法解方程 ﹣ =3 时,设 =y,则原方程可
化为( )
A.y﹣ ﹣3=0 B.y﹣ ﹣3=0 C.y﹣ +3=0 D.y﹣ +3=0
【考点】换元法解分式方程.
【分析】把 y= 代入原方程,移项即可得到答案.
【解答】解:设 =y,
则原方程可化为:y﹣ =3,即 y﹣ ﹣3=0,
故选:A.
【点评】本题主要考查换元法解分式方程,用换元法解一些复杂的分式方程是比
较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单
化.
5.(3 分)等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+12=0 的两个根,则这个三角形的
周长是( )
A.11 B.10 C.11 或 10 D.不能确定
【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用.
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值,确定出底与腰,即可求出周
长.
【解答】解:方程分解得:(x﹣3)(x﹣4)=0,
解得:x1=3,x2=4,
若 3 为底,4 为腰,三角形三边为 3,4,4,周长为 3+4+4=11;
若 3 为腰,4 为底,三角形三边为 3,3,4,周长为 3+3+4=10.
故选 C.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解法是解本
题的关键.
6.(3 分)若分式 的值为零,则 x 的值为( )
A.3 B.3 或﹣3 C.0 D.﹣3
【考点】分式的值为零的条件;解一元二次方程-直接开平方法;解一元一次不
等式.
【专题】计算题.
【分析】分式的值为 0 的条件是:(1)分子为 0;(2)分母不为 0.两个条件
需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
【解答】解:由题意,可得 x2﹣9=0 且 2x﹣6≠0,
解得 x=﹣3.
故选 D.
【点评】本题主要考查分式的值为 0 的条件.由于该类型的题易忽略分母不为 0
这个条件,所以常以这个知识点来命题.
7.(3 分)一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【考点】根的判别式.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:∵a=1,b=﹣1,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
故选:A.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与△的关系是解答此题的关键.
8.(3 分)在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手 10 次,设有 x
人参加这次聚会,则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=10 B. =10C.x(x+1)=10D. =10
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】其他问题;压轴题.
【分析】如果有 x 人参加了聚会,则每个人需要握手(x﹣1)次,x 人共需握手 x
(x﹣1)次;而每两个人都握了一次手,因此要将重复计算的部分除去,即一共
握手: 次;已知“所有人共握手 10 次”,据此可列出关于 x 的方程.
【解答】解:设 x 人参加这次聚会,则每个人需握手:x﹣1(次);
依题意,可列方程为: =10;
故选 B.
【点评】理清题意,找对等量关系是解答此类题目的关键;需注意的是本题中“每
两人都握了一次手”的条件,类似于球类比赛的单循环赛制.
9.(3 分)某农机厂四月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个.设
该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么 x 满足的方程是( )
A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】增长率问题;压轴题.
【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如
果该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么可以用 x 分别表示五、六月份的
产量,然后根据题意可得出方程.
【解答】解:依题意得五、六月份的产量为 50(1+x)、50(1+x)2,
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.
故选 B.
【点评】增长率问题,一般形式为 a(1+x)2=b,a 为起始时间的有关数量,b 为
终止时间的有关数量.
10.(3 分)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,且 x1+x2=﹣2,
x1•x2=1,则 ba 的值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2 和 x1•x2 的值,可求 a、b 的值,再代
入求值即可.
【解答】解:∵x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,
∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1•x2=﹣2b=1,
解得 a=2,b=﹣ ,
∴ba=(﹣ )2= .
故选:A.
【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结
合解题是一种经常使用的解题方法.
11.(3 分)定义运算:a⋆b=a(1﹣b).若 a,b 是方程 x2﹣x+ m=0(m<0)的
两根,则 b⋆b﹣a⋆a 的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.与 m 有关
【考点】根与系数的关系.
【专题】新定义.
【分析】(方法一)由根与系数的关系可找出 a+b=1,根据新运算找出 b⋆b﹣a⋆a=b
(1﹣b)﹣a(1﹣a),将其中的 1 替换成 a+b,即可得出结论.
(方法二)由根与系数的关系可找出 a+b=1,根据新运算找出 b⋆b﹣a⋆a=(a﹣b)
(a+b﹣1),代入 a+b=1 即可得出结论.
【解答】解:(方法一)∵a,b 是方程 x2﹣x+ m=0(m<0)的两根,
∴a+b=1,
∴b⋆b﹣a⋆a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b(a+b﹣b)﹣a(a+b﹣a)=ab﹣ab=0.
(方法二)∵a,b 是方程 x2﹣x+ m=0(m<0)的两根,
∴a+b=1.
∵b⋆b﹣a⋆a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b﹣b2﹣a+a2=(a2﹣b2)+(b﹣a)=(a+b)
(a﹣b)﹣(a﹣b)=(a﹣b)(a+b﹣1),a+b=1,
∴b⋆b﹣a⋆a=(a﹣b)(a+b﹣1)=0.
故选 A.
【点评】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出 a+b=1.本题属于基础
题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系得出两根之积与两根之
和是关键.
12.(3 分)使用墙的一边,再用 13m 的铁丝网围成三边,围成一个面积为 20m2
的长方形,求这个长方形的两边长.设墙的对边长为 xm,可得方程( )
A.x(13﹣x)=20 B.x• =20 C.x(13﹣ x)=20 D.x• =20
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据铁丝网的总长度为 13m,长方形的面积为 20m2,来列出关于 x 的
方程,由题意可知,墙的对边为 xm,则长方形的另一对边为 m,则可利
用面积公式求出即可.
【解答】解:设墙的对边长为 x m,可得方程:x× =20.
故选:B.
【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式,得出矩形两边长是解
题关键.
二.填空题(每小题 3 分,共 12 分)
13.(3 分)方程 x2﹣3=0 的根是 x=± .
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用.
【分析】方程变形后,利用平方根定义开方即可求出 x 的值.
【解答】解:方程整理得:x2=3,
开方得:x=± ,
故答案为:x=±
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握平方根定义是解
本题的关键.
14.(3 分)当 k= 0 时,方程 x2+(k+1)x+k=0 有一根是 0.
【考点】一元二次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】将 x=0 代入已知的方程中,得到关于 k 的方程,求出方程的解即可得到
满足题意 k 的值.
【解答】解:将 x=0 代入方程 x2+(k+1)x+k=0 得:k=0,
则 k=0 时,方程 x2+(k+1)x+k=0 有一根是 0.
故答案为:0
【点评】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的
未知数的值.
15.(3 分)设 m,n 分别为一元二次方程 x 2+2x﹣2018=0 的两个实数根,则
m2+3m+n= 2016 .
【考点】根与系数的关系.
【专题】计算题.
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=﹣2m+2018,则 m2+3m+n 可化
简为 2018+m+n,再根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2,然后利用整体代入的方
法计算.
【解答】解:∵m 为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的实数根,
∴m2+2m﹣2018=0,即 m2=﹣2m+2018,
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n,
∵m,n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根,
∴m+n=﹣2,
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠
0)的两根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .也考查了一元二次方程根的定义.
16.(3 分)写出以 4,﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是
x2+x﹣20=0 .
【考点】根与系数的关系.
【专题】计算题.
【分析】先简单 4 与﹣5 的和与积,然后根据根与系数的关系写出满足条件的方
程.
【解答】解:∵4+(﹣5)=﹣1,4×(﹣5)=﹣20,
∴以 4,﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程为 x2+x﹣20=0.
故答案为 x2+x﹣20=0.
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方
程两个为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
三.解答题(本题有 7 小题,共 52 分)
17.(10 分)解方程
(1)x2﹣4x﹣5=0
(2)3x(x﹣1)=2﹣2x.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)根据因式分解法可以解答本题;
(2)先移项,然后提公因式可以解答此方程.
【解答】解:(1)x2﹣4x﹣5=0
(x﹣5)(x+1)=0
∴x﹣5=0 或 x+1=0,
解得,x1=5,x2=﹣1;
(2)3x(x﹣1)=2﹣2x
3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0
(3x+2)(x﹣1)=0
∴3x+2=0 或 x﹣1=0,
解得, .
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法,解题的关键是根据方程的特点,
选取合适的因式分解法解答方程.
18.(5 分)试证明关于 x 的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0 无论 a 取何值,该方
程都是一元二次方程.
【考点】一元二次方程的定义.
【专题】证明题.
【分析】根据一元二次方程的定义,只需证明此方程的二次项系数 a2﹣8a+20 不
等于 0 即可.
【解答】证明:∵a2﹣8a+20=(a﹣4)2+4≥4,
∴无论 a 取何值,a2﹣8a+20≥4,即无论 a 取何值,原方程的二次项系数都不会
等于 0,
∴关于 x 的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0,无论 a 取何值,该方程都是一元二次
方程.
【点评】一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)含未知数的
项的最高次数是 2;(3)是整式方程;(4)将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0 时,
应满足 a≠0.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,
若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程
就为一元二次方程.
19.(6 分)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为 2:1.在
温室内,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地,其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道.当
矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是 288m2?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何图形问题.
【分析】本题有多种解法.设的对象不同则列的一元二次方程不同.设矩形温室
的宽为 xm,则长为 2xm,根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解.
【解答】解:解法一:设矩形温室的宽为 xm,则长为 2xm,
根据题意,得(x﹣2)•(2x﹣4)=288,
∴2(x﹣2)2=288,
∴(x﹣2)2=144,
∴x﹣2=±12,
解得:x1=﹣10(不合题意,舍去),x2=14,
所以 x=14,2x=2×14=28.
答:当矩形温室的长为 28m,宽为 14m 时,蔬菜种植区域的面积是 288m2.
解法二:设矩形温室的长为 xm,则宽为 xm.根据题意,得( x﹣2)•
(x﹣4)=288.
解这个方程,得 x1=﹣20(不合题意,舍去),x2=28.
所以 x=28, x= ×28=14.
答:当矩形温室的长为 28m,宽为 14m 时,蔬菜种植区域的面积是 288m2.
【点评】解答此题,要运用含 x 的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽,再由面积关
系列方程.
20.(8 分)某种商品的标价为 400 元/件,经过两次降价后的价格为 324 元/件,
并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为 300 元/件,两次降价共售出此种商品 100 件,为使两次
降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
【考点】一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设该种商品每次降价的百分率为 x%,根据“两次降价后的售价=原
价×(1﹣降价百分比)的平方”,即可得出关于 x 的一元二次方程,解方程即可
得出结论;
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)
件,根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利
润×销售数量”,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解不等式即可得出结
论.
【解答】解:(1)设该种商品每次降价的百分率为 x%,
依题意得:400×(1﹣x%)2=324,
解得:x=10,或 x=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为 10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)
件,
第一次降价后的单件利润为:400×(1﹣10%)﹣300=60(元/件);
第二次降价后的单件利润为:324﹣300=24(元/件).
依题意得:60m+24×(100﹣m)=36m+2400≥3210,
解得:m≥22.5.
∴m≥23.
答:为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元.第一次降价后至少要售出该种
商品 23 件.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关
键是:(1)根据数量关系得出关于 x 的一元二次方程;(2)根据数量关系得出
关于 m 的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,
根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键.
21.(6 分)阅读下面的例题,
范例:解方程 x2﹣|x|﹣2=0,
解:(1)当 x≥0 时,原方程化为 x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合题意,
舍去).
(2)当 x<0 时,原方程化为 x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合题意,舍
去).
∴原方程的根是 x1=2,x2=﹣2
请参照例题解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【专题】阅读型.
【分析】分为两种情况:(1)当 x≥1 时,原方程化为 x2﹣x=0,(2)当 x<1 时,
原方程化为 x2+x﹣2=0,求出方程的解即可.
【解答】解:x2﹣|x﹣1|﹣1=0,
(1)当 x≥1 时,原方程化为 x2﹣x=0,解得:x1=1,x2=0(不合题意,舍去).
(2)当 x<1 时,原方程化为 x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合题意,舍
去).
故原方程的根是 x1=1,x2=﹣2.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确去掉绝对值
符号.
22.(8 分)龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣,以 200 元/件的价格
出售,每周可售出 100 件.为了促销,该商场决定降价销售,尽快减少库存.经
调查发现,这种上衣每降价 5 元/件,每周可多售出 20 件.另外,每周的房租等
固定成本共 3000 元.该商场要想每周盈利 8000 元,应将每件上衣的售价降低多
少元?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设每件上衣应降价 x 元,则每件利润为(80﹣x)元,本题的等量关系
为:每件上衣的利润×每天售出数量﹣固定成本=8000.
【解答】解:设每件上衣应降价 x 元,则每件利润为(80﹣x)元,
列方程得:(80﹣x)(100+ x)﹣3000=8000,
解得:x1=30,x2=25
因为为了促销,该商场决定降价销售,尽快减少库存,
所以 x=30.
答:应将每件上衣的售价降低 30 元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据
题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
23.(9 分)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6 厘米,BC=8 厘米.点 P 从 A 点
开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到达点 B 即停止运动),点 Q 从 C
点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动(到达点 C 即停止运动).
(1)如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ 的面积等于是△
ABC 的三分之一?
(2)如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发,而且动点 P 从 A 点出发,沿 AB
移动(到达点 B 即停止运动),动点 Q 从 C 出发,沿 CB 移动(到达点 C 即停止
运动),几秒钟后,P、Q 相距 6 厘米?
(3)如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发,而且动点 P 从 A 点出发,沿 AB
移动(到达点 B 即停止运动),动点 Q 从 C 出发,沿 CB 移动(到达点 B 即停止
运动),是否存在一个时刻,PQ 同时平分△ABC 的周长与面积?若存在求出这个
时刻的 t 值,若不存在说明理由.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)设经过 t 秒钟,△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一,根据题意
得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,由,△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一列式可
得求出 t 的值;
(2)在 Rt△PQB 中,根据勾股定理列方程即可;
(3)分两种情况:①当 PQ 平分△ABC 面积时,计算出这时的 t=5﹣ ,同时
计算这时 PQ 所截△ABC 的周长是否平分;②当 PQ 平分△ABC 周长时,计算出
这时的 t= ,此时△PBQ 的面积是否为 ,计算即可.
【解答】解:(1)设经过 t 秒钟,△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一,
由题意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,
×2t×(6﹣t)= × ×6×8,
解得:t=2 或 4,
∵0≤t≤4,
∴t=2 或 4 符合题意,
答:经过 2 或 4 秒钟,△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一;
(2)在 Rt△PQB 中,PQ2=BQ2+PB2,
∴62=(2t)2+(6﹣t)2,
解得:t1=0(舍),t2= ,
答: 秒钟后,P、Q 相距 6 厘米;
(3)由题意得:PB=6﹣t,BQ=8﹣2t,
分两种情况:
①当 PQ 平分△ABC 面积时,
S△PBQ= S△ABC,
(6﹣t)(8﹣2t)= × ×8×6,
解得:t1=5+ ,t2=5﹣ ,
∵Q 从 C 到 B,一共需要 8÷2=4 秒,5+ >4,
∴t1=5+ 不符合题意,舍去,
当 t2=5﹣ 时,AP=5﹣ ,BP=6﹣(5﹣ )=1+ ,BQ=8﹣2(5﹣ )
=2 ﹣2,CQ=2(5﹣ )=10﹣2 ,
PQ 将△ABC 的周长分为两部分:
一部分为:AC+AP+CQ=10+5﹣ +10﹣2 =25﹣3 ,
另一部分:PB+BQ=1+ +2 ﹣2=3 ﹣1,
25﹣3 ≠3 ﹣1,
②当 PQ 平分△ABC 周长时,
AP+AC+CQ=PB+BQ,
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t,
t= ,
当 t= 时,PB=6﹣ = ,
BQ=8﹣2× = ,
∴S△PBQ= × × = ≠12,
综上所述,不存在这样一个时刻,PQ 同时平分△ABC 的周长与面积.
【点评】本题是动点运动问题,在三角形中的动点问题,首先要确定两个动点的:
路线、路程、速度、时间,表示出时间为 t 时的路程是哪一条线段的长,根据已
知条件列等式或方程,解出即可.
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