天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第二章 一元二次方程 / 本章复习与测试 / 北师大版九上第2章一元二次方程测试卷（2）含解析
资料简介
第二章 一元二次方程测试卷（2）
一．选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出 4 个选项，
其中只有一个是正确的）
1．（3 分）把方程 x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则 a、b、c 的值分别是（ ）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
2．（3 分）一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
3．（3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2﹣（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实
数根，那么 k 的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且 k≠0 C．k＜ D．k≥ 且 k≠0
4．（3 分）用换元法解方程 ﹣ =3 时，设 =y，则原方程可
化为（ ）
A．y﹣ ﹣3=0 B．y﹣ ﹣3=0 C．y﹣ +3=0 D．y﹣ +3=0
5．（3 分）等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+12=0 的两个根，则这个三角形的
周长是（ ）
A．11 B．10 C．11 或 10 D．不能确定
6．（3 分）若分式 的值为零，则 x 的值为（ ）
A．3 B．3 或﹣3 C．0 D．﹣3
7．（3 分）一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x
人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）=10 B． =10C．x（x+1）=10D． =10
9．（3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个．设
该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182
10．（3 分）已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，且 x1+x2=﹣2，
x1•x2=1，则 ba 的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
11．（3 分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若 a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m＜0）的
两根，则 b⋆b﹣a⋆a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与 m 有关
12．（3 分）使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2
的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为 xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x• =20 C．x（13﹣ x）=20 D．x• =20
二．填空题（每小题 3 分，共 12 分）
13．（3 分）方程 x2﹣3=0 的根是 ．
14．（3 分）当 k= 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0．
15．（3 分）设 m，n 分别为一元二次方程 x 2+2x﹣2018=0 的两个实数根，则
m2+3m+n= ．
16．（3 分）写出以 4，﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 ．
三．解答题（本题有 7 小题，共 52 分）
17．（10 分）解方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．
18．（5 分）试证明关于 x 的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0 无论 a 取何值，该方
程都是一元二次方程．
19．（6 分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1．在
温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当
矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？
20．（8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，
并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次
降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
21．（6 分）阅读下面的例题，
范例：解方程 x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当 x≥0 时，原方程化为 x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，
舍去）．
（2）当 x＜0 时，原方程化为 x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍
去）．
∴原方程的根是 x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
22．（8 分）龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣，以 200 元/件的价格
出售，每周可售出 100 件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经
调查发现，这种上衣每降价 5 元/件，每周可多售出 20 件．另外，每周的房租等
固定成本共 3000 元．该商场要想每周盈利 8000 元，应将每件上衣的售价降低多
少元？
23．（9 分）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6 厘米，BC=8 厘米．点 P 从 A 点
开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动），点 Q 从 C
点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动）．
（1）如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于是△
ABC 的三分之一？
（2）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB
移动（到达点 B 即停止运动），动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 C 即停止
运动），几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？
（3）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB
移动（到达点 B 即停止运动），动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 B 即停止
运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积？若存在求出这个
时刻的 t 值，若不存在说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出 4 个选项，
其中只有一个是正确的）
1．（3 分）把方程 x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则 a、b、c 的值分别是（ ）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】压轴题；推理填空题．
【分析】a、b、c 分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系
数、常数项．
【解答】解：由方程 x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c 的值分别是 1、﹣3、10；
故选 A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0），在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，
c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（3 分）一元二次方程 x2﹣6x﹣5=0 配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上 32，这样方程左边就
为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次
系数变为 1，即方程两边除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加
上一次项系数的一半．
3．（3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2﹣（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实
数根，那么 k 的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且 k≠0 C．k＜ D．k≥ 且 k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于 k
的不等式，求出 k 的取值范围．
【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞ 且 k≠0．
故选 B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则 k≠0．
4．（3 分）用换元法解方程 ﹣ =3 时，设 =y，则原方程可
化为（ ）
A．y﹣ ﹣3=0 B．y﹣ ﹣3=0 C．y﹣ +3=0 D．y﹣ +3=0
【考点】换元法解分式方程．
【分析】把 y= 代入原方程，移项即可得到答案．
【解答】解：设 =y，
则原方程可化为：y﹣ =3，即 y﹣ ﹣3=0，
故选：A．
【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比
较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单
化．
5．（3 分）等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+12=0 的两个根，则这个三角形的
周长是（ ）
A．11 B．10 C．11 或 10 D．不能确定
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值，确定出底与腰，即可求出周
长．
【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得：x1=3，x2=4，
若 3 为底，4 为腰，三角形三边为 3，4，4，周长为 3+4+4=11；
若 3 为腰，4 为底，三角形三边为 3，3，4，周长为 3+3+4=10．
故选 C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本
题的关键．
6．（3 分）若分式 的值为零，则 x 的值为（ ）
A．3 B．3 或﹣3 C．0 D．﹣3
【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不
等式．
【专题】计算题．
【分析】分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．两个条件
需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意，可得 x2﹣9=0 且 2x﹣6≠0，
解得 x=﹣3．
故选 D．
【点评】本题主要考查分式的值为 0 的条件．由于该类型的题易忽略分母不为 0
这个条件，所以常以这个知识点来命题．
7．（3 分）一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根
与△的关系是解答此题的关键．
8．（3 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x
人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）=10 B． =10C．x（x+1）=10D． =10
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】其他问题；压轴题．
【分析】如果有 x 人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x 人共需握手 x
（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共
握手： 次；已知“所有人共握手 10 次”，据此可列出关于 x 的方程．
【解答】解：设 x 人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；
依题意，可列方程为： =10；
故选 B．
【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每
两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
9．（3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个．设
该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如
果该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么可以用 x 分别表示五、六月份的
产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为 50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故选 B．
【点评】增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为
终止时间的有关数量．
10．（3 分）已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，且 x1+x2=﹣2，
x1•x2=1，则 ba 的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2 和 x1•x2 的值，可求 a、b 的值，再代
入求值即可．
【解答】解：∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，
解得 a=2，b=﹣ ，
∴ba=（﹣ ）2= ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结
合解题是一种经常使用的解题方法．
11．（3 分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若 a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m＜0）的
两根，则 b⋆b﹣a⋆a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与 m 有关
【考点】根与系数的关系．
【专题】新定义．
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出 a+b=1，根据新运算找出 b⋆b﹣a⋆a=b
（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的 1 替换成 a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出 a+b=1，根据新运算找出 b⋆b﹣a⋆a=（a﹣b）
（a+b﹣1），代入 a+b=1 即可得出结论．
【解答】解：（方法一）∵a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）
（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b⋆b﹣a⋆a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
故选 A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出 a+b=1．本题属于基础
题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之
和是关键．
12．（3 分）使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2
的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为 xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x• =20 C．x（13﹣ x）=20 D．x• =20
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据铁丝网的总长度为 13m，长方形的面积为 20m2，来列出关于 x 的
方程，由题意可知，墙的对边为 xm，则长方形的另一对边为 m，则可利
用面积公式求出即可．
【解答】解：设墙的对边长为 x m，可得方程：x× =20．
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解
题关键．
二．填空题（每小题 3 分，共 12 分）
13．（3 分）方程 x2﹣3=0 的根是 x=± ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出 x 的值．
【解答】解：方程整理得：x2=3，
开方得：x=± ，
故答案为：x=±
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解
本题的关键．
14．（3 分）当 k= 0 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将 x=0 代入已知的方程中，得到关于 k 的方程，求出方程的解即可得到
满足题意 k 的值．
【解答】解：将 x=0 代入方程 x2+（k+1）x+k=0 得：k=0，
则 k=0 时，方程 x2+（k+1）x+k=0 有一根是 0．
故答案为：0
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的
未知数的值．
15．（3 分）设 m，n 分别为一元二次方程 x 2+2x﹣2018=0 的两个实数根，则
m2+3m+n= 2016 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=﹣2m+2018，则 m2+3m+n 可化
简为 2018+m+n，再根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2，然后利用整体代入的方
法计算．
【解答】解：∵m 为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即 m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠
0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程根的定义．
16．（3 分）写出以 4，﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是
x2+x﹣20=0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先简单 4 与﹣5 的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方
程．
【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20，
∴以 4，﹣5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程为 x2+x﹣20=0．
故答案为 x2+x﹣20=0．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方
程两个为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．
三．解答题（本题有 7 小题，共 52 分）
17．（10 分）解方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；
（2）先移项，然后提公因式可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5=0
（x﹣5）（x+1）=0
∴x﹣5=0 或 x+1=0，
解得，x1=5，x2=﹣1；
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x
3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0
（3x+2）（x﹣1）=0
∴3x+2=0 或 x﹣1=0，
解得， ．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是根据方程的特点，
选取合适的因式分解法解答方程．
18．（5 分）试证明关于 x 的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0 无论 a 取何值，该方
程都是一元二次方程．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】证明题．
【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数 a2﹣8a+20 不
等于 0 即可．
【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，
∴无论 a 取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论 a 取何值，原方程的二次项系数都不会
等于 0，
∴关于 x 的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论 a 取何值，该方程都是一元二次
方程．
【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的
项的最高次数是 2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0 时，
应满足 a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，
若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程
就为一元二次方程．
19．（6 分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1．在
温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当
矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室
的宽为 xm，则长为 2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以 x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2．
解法二：设矩形温室的长为 xm，则宽为 xm．根据题意，得（ x﹣2）•
（x﹣4）=288．
解这个方程，得 x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以 x=28， x= ×28=14．
答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2．
【点评】解答此题，要运用含 x 的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关
系列方程．
20．（8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，
并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次
降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，根据“两次降价后的售价=原
价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可
得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）
件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利
润×销售数量”，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结
论．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或 x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为 10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）
件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元．第一次降价后至少要售出该种
商品 23 件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关
键是：（1）根据数量关系得出关于 x 的一元二次方程；（2）根据数量关系得出
关于 m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
21．（6 分）阅读下面的例题，
范例：解方程 x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当 x≥0 时，原方程化为 x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，
舍去）．
（2）当 x＜0 时，原方程化为 x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍
去）．
∴原方程的根是 x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】阅读型．
【分析】分为两种情况：（1）当 x≥1 时，原方程化为 x2﹣x=0，（2）当 x＜1 时，
原方程化为 x2+x﹣2=0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，
（1）当 x≥1 时，原方程化为 x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
（2）当 x＜1 时，原方程化为 x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍
去）．
故原方程的根是 x1=1，x2=﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值
符号．
22．（8 分）龙华天虹商场以 120 元/件的价格购进一批上衣，以 200 元/件的价格
出售，每周可售出 100 件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经
调查发现，这种上衣每降价 5 元/件，每周可多售出 20 件．另外，每周的房租等
固定成本共 3000 元．该商场要想每周盈利 8000 元，应将每件上衣的售价降低多
少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每件上衣应降价 x 元，则每件利润为（80﹣x）元，本题的等量关系
为：每件上衣的利润×每天售出数量﹣固定成本=8000．
【解答】解：设每件上衣应降价 x 元，则每件利润为（80﹣x）元，
列方程得：（80﹣x）（100+ x）﹣3000=8000，
解得：x1=30，x2=25
因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，
所以 x=30．
答：应将每件上衣的售价降低 30 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（9 分）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6 厘米，BC=8 厘米．点 P 从 A 点
开始沿 A 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动），点 Q 从 C
点开始沿 CB 边向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动）．
（1）如果 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于是△
ABC 的三分之一？
（2）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB
移动（到达点 B 即停止运动），动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 C 即停止
运动），几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？
（3）如果 P、Q 两点分别从 A、C 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB
移动（到达点 B 即停止运动），动点 Q 从 C 出发，沿 CB 移动（到达点 B 即停止
运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积？若存在求出这个
时刻的 t 值，若不存在说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）设经过 t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，根据题意
得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，由，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一列式可
得求出 t 的值；
（2）在 Rt△PQB 中，根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况：①当 PQ 平分△ABC 面积时，计算出这时的 t=5﹣ ，同时
计算这时 PQ 所截△ABC 的周长是否平分；②当 PQ 平分△ABC 周长时，计算出
这时的 t= ，此时△PBQ 的面积是否为 ，计算即可．
【解答】解：（1）设经过 t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）= × ×6×8，
解得：t=2 或 4，
∵0≤t≤4，
∴t=2 或 4 符合题意，
答：经过 2 或 4 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一；
（2）在 Rt△PQB 中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2= ，
答： 秒钟后，P、Q 相距 6 厘米；
（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
①当 PQ 平分△ABC 面积时，
S△PBQ= S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）= × ×8×6，
解得：t1=5+ ，t2=5﹣ ，
∵Q 从 C 到 B，一共需要 8÷2=4 秒，5+ ＞4，
∴t1=5+ 不符合题意，舍去，
当 t2=5﹣ 时，AP=5﹣ ，BP=6﹣（5﹣ ）=1+ ，BQ=8﹣2（5﹣ ）
=2 ﹣2，CQ=2（5﹣ ）=10﹣2 ，
PQ 将△ABC 的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣ +10﹣2 =25﹣3 ，
另一部分：PB+BQ=1+ +2 ﹣2=3 ﹣1，
25﹣3 ≠3 ﹣1，
②当 PQ 平分△ABC 周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t= ，
当 t= 时，PB=6﹣ = ，
BQ=8﹣2× = ，
∴S△PBQ= × × = ≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积．
【点评】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：
路线、路程、速度、时间，表示出时间为 t 时的路程是哪一条线段的长，根据已
知条件列等式或方程，解出即可．
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