天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第一章 特殊平行四边形 / 本章复习与测试 / 北师大版九上第1章特殊平行四边形测试卷（3）含解析
资料简介
第一章 特殊平行四边形
一、选择题（12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）
①平行四边形 ②菱形 ③对角线相等的四边形 ④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形
5．（2018•大连）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB＝5，AC＝6，
则 BD 的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2，
则 S1+S2 的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC= cm，则 AB 边上的中线为（ ）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D． cm
8．如图，在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 CDE，AE、BD 交于点 F，则∠AFB 的度数为
（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
9．如图，▱ABCD 中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则 AD=
（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10．如图：长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点 B 与点 D
重合．折痕为 EF，则 DE 长为（ ）
A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm
11．如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上
的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图
（2）所示的小菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
12．（2018•威海）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，
连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH．若 BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则 GH＝（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
13．（2018•锦州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于
点 H，连接 OH，若 OB＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 OH 的长为 ．
14．（2018•本溪）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），
点 P 是边 AB 或边 BC 上的一点，连接 OP，DP，当△ODP 为等腰三角形时，点 P 的坐
标为 ．
15．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为
边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 ．
16．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上的一点，BE=1，F 为 AB 上的一点，AF=2，P
为 AC 上一个动点，则 PF+PE 的最小值为 ．
三、解答题（共 52 分）
17．（6 分）已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，且 BE=DF．求证：∠
AEF=∠AFE．
18．（7 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，∠AOD=60°，AB= ，AE⊥BD
于点 E，求 OE 的长．
19．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，BD 平分∠ABC．四边形 ABED 是平行四边形，DE
交 BC 于点 F，连接 CE．
求证：四边形 BECD 是矩形．
20．（8 分）如图，已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由．
21．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，AE=CF，连接 EF、BF，EF
与对角线 AC 交于点 O，且 BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若 BC=2 ，求 AB 的长．
22．（8 分）正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE
绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM；
（2）当 AE=1 时，求 EF 的长．
23．（8 分）已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交 DC
于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求 CF 的长；
（3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，
问在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直
接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联
系．
【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项 A 错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项 B 错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 C 错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项 D 正确；
故选 D．
【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分
析，从而得到最后的答案．
【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选 A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四
边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）
①平行四边形 ②菱形 ③对角线相等的四边形 ④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【考点】矩形的定义及性质．
【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性
质进行分析，从而不难求解．
【解答】解：如图点 E，F，G，H 分别是梯形各边的中点，且四边形 EFGH 是矩形．
∵点 E，F，G，H 分别是梯形各边的中点，且四边形 EFGH 是矩形．
∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．
∴AC⊥BD．
①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；
②菱形的对角线互相垂直，故②正确；
③对角线相等的四边形，故③错误；
④对角线互相垂直的四边形，故④正确．
综上所述，正确的结论是：②④．
故选：D．
【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方
法是解题关键．
4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形
【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 4 条对称轴；
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 2 条对称轴；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有 2 条对称轴．
故选 D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图
重合．
5．（2018•大连）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB＝5，AC＝6，
则 BD 的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出 OB 即可；
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝ ＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关
键．
6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2，
则 S1+S2 的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【考点】正方形的性质．
【分析】由图可得，S2 的边长为 3，由 AC= BC，BC=CE= CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=2
；然后，分别算出 S1、S2 的面积，即可解答．
【解答】解：如图，
设正方形 S1 的边长为 x，
∵△ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°= = ，即 AC= BC，同理可得：BC=CE= CD，
∴AC= BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD= =2，
∴EC2=22+22，即 EC=2 ；
∴S1 的面积为 EC2=2 ×2 =8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M 为 AN 的中点，
∴S2 的边长为 3，
∴S2 的面积为 3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选 B．
【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．
7．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC= cm，则 AB 边上的中线为（ ）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D． cm
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条
直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解
【解答】解：∵Rt△ABC 中，AC= cm，且∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2 ，
∴AB 边上的中线 CD= AB= cm．
故选 D．
【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难
度不大，属于基础题．
8．如图，在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 CDE，AE、BD 交于点 F，则∠AFB 的度数为
（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出 AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠
CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即
可算出∠AFB 的值．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形，△CDE 为等边三角形，
∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=150°．
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=15°，
∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．
故选 C．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键
是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边
三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．
9．如图，▱ABCD 中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则 AD=
（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【考点】含 30 度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．
【分析】根据四边形 ABCD 是平行四边形，得出 AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据 DE
⊥AB，得出∠AED 和∠CDE 是直角，求出∠CDF 的度数，最后根据 DF⊥BC，求出∠C、∠A
的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠CDE=∠AED，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠CDE=90°，
∵∠EDF=60°，
∴∠CDF=30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∴∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2DE，
∵AE=2，
∴AD=2×2=4（cm）；
故选 A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和含 30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边
形的性质和垂直的定义 30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．
10．如图：长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点 B 与点 D
重合．折痕为 EF，则 DE 长为（ ）
A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm
【考点】矩形的定义及性质．
【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设 BE=DE=x，即可表示 AE，在直角三角形 ADE 中，
根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：设 DE=xcm，则 BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
在 Rt△ADE 中，DE2=AE2+AD2，
即 x2=（10﹣x）2+16．
解得：x=5.8．
故选 C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，
另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
11．如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上
的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图
（2）所示的小菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
【考点】菱形的性质．
【分析】利用折叠的方式得出 AC，BD 的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．
【解答】解：由题意可得：图 1 中矩形的长为 5cm，宽为 4cm，
∵虚线的端点为矩形两邻边中点，
∴AC=4cm，BD=5cm，
∴如图（2）所示的小菱形的面积为： ×4×5=10（cm2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折
变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
12．（2018•威海）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，
连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH．若 BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则 GH＝（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证△APH≌△FGH 得 AP＝GF＝1，GH＝PH＝ PG，
再利用勾股定理求得 PG＝ ，从而得出答案．
【解答】解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P，
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH＝∠PAH，
又∵H 是 AF 的中点，
∴AH＝FH，
在△APH 和△FGH 中，
∵ ，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝ PG，
∴PD＝AD﹣AP＝1，
∵CG＝2、CD＝1，
∴DG＝1，
则 GH＝ PG＝ × ＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性
质、勾股定理等知识点．
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
13．（2018•锦州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于
点 H，连接 OH，若 OB＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 OH 的长为 3 ．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求 AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半．
【解答】解：∵ABCD 是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S 菱形 ABCD＝ ＝24，
∴AC＝6，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，
∴OH＝ AC＝3．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运
用这些性质解决问题．
14．（2018•本溪）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），
点 P 是边 AB 或边 BC 上的一点，连接 OP，DP，当△ODP 为等腰三角形时，点 P 的坐
标为 （8，4）或（ ，7） ．
【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；
【解答】解：∵四边形 OABC 是矩形，B（8，7），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∵D（5，0），
∴OD＝5，
∵点 P 是边 AB 或边 BC 上的一点，
∴当点 P 在 AB 边时，OD＝DP＝5，
∵AD＝3，
∴PA＝ ＝4，
∴P（8，4）．
当点 P 在边 BC 上时，只有 PO＝PD，此时 P（ ，7）．
综上所述，满足条件的点 P 坐标为（8，4）或（ ，7）．
故答案为（8，4）或（ ，7）．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为
边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 （ ）n﹣1 ．
【分析】首先求出 AC、AE、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问
题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+12，AC= ；
同理可求：AE=（ ）2，HE=（ ）3…，
∴第 n 个正方形的边长 an=（ ）n﹣1．
故答案为（ ）n﹣1．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定
理并能灵活运用．
16．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上的一点，BE=1，F 为 AB 上的一点，AF=2，P
为 AC 上一个动点，则 PF+PE 的最小值为 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】作 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求，过 F 作 FG⊥CD 于 G，
在 Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出 E′F 的长．
【解答】解：作 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求，
过 F 作 FG⊥CD 于 G，
在 Rt△E′FG 中，
GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4，
所以 E′F= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（共 52 分）
17．（6 分）已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，且 BE=DF．求证：∠
AEF=∠AFE．
【考点】菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】在菱形中，由 SAS 求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．
【解答】证明：∵ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D．
又∵EB=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE．
【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．
18．（7 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，∠AOD=60°，AB= ，AE⊥BD
于点 E，求 OE 的长．
【考点】矩形的性质．
【专题】计算题．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即 OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD 为等边三角
形，即 OA=AD，∵AE⊥BD，∴E 为 OD 的中点，即可求 OE 的值．
【解答】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA=OD
∵∠AOD=60°
∴△AOD 为等边三角形，则 OA=AD，
BD=2DO，AB= AD，
∴AD=2，
∵AE⊥BD，∴E 为 OD 的中点
∴OE= OD= AD=1，
答：OE 的长度为 1．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角
形三线合一的性质，本题中求得 E 为 OD 的中点是解题的关键．
19．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，BD 平分∠ABC．四边形 ABED 是平行四边形，DE
交 BC 于点 F，连接 CE．
求证：四边形 BECD 是矩形．
【考点】矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性
质证得 BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD 是
矩形．
【解答】证明：∵AB=BC，BD 平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形 ABED 是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形 BECD 是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴▱BECD 是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
20．（8 分）如图，已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由．
【考点】菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用 AAS 推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出 AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形 DEFA 是▱，再利用 AD 是角平分线，结合 AE
∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得 AE=DF，从而可证▱AEDF 实菱形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若 AD 平分∠BAC，四边形 AEDF 是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形 AEDF 为菱形．
【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
21．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，AE=CF，连接 EF、BF，
EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若 BC=2 ，求 AB 的长．
【考点】矩形的性质．
【分析】（1）根据矩形的对边平行可得 AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=
∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE 和△COF 全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接 OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BO⊥EF，再根据矩形的性质可得 OA=OB，
根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，
即∠BAC=30°，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC，再利用勾股定
理列式计算即可求出 AB．
【解答】（1）证明：在矩形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接 OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在 Rt△BEO 中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即 2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=2 ，
∴AC=2BC=4 ，
∴AB= = =6．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，
直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求
出∠BAC=30°是解题的关键．
22．（8 分）正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE
绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM；
（2）当 AE=1 时，求 EF 的长．
【考点】正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由旋转可得 DE=DM，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠
EDF=45°，得到∠MDF 为 45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由 DF=DF，利用 SAS 可得出三角形 DEF
与三角形 MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出 EF=MF；
（2）由第一问的全等得到 AE=CM=1，正方形的边长为 3，用 AB﹣AE 求出 EB 的长，再由
BC+CM 求出 BM 的长，设 EF=MF=x，可得出 BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形 BEF
中，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即为 EF 的长．
【解答】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M 三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF 和△DMF 中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；
（2）设 EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且 BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2+BF2=EF2，
即 22+（4﹣x）2=x2，
解得：x= ，
则 EF= ．
【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，
利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
23．（8 分）已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交 DC
于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求 CF 的长；
（3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，
问在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直
接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由．
【考点】正方形的性质．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理 SAS 即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG 的对应边相等知 BD=BF= ；然后由 CF=BF﹣BC=即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图 1，
在△BCE 和△DCF 中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图 1，
∵BE 平分∠DBC，OD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠EBC= ∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG 和△FBG 中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD= = ，
∴BF= ，
∴CF=BF﹣BC= ﹣1；
（3）解：如图 2，∵CF= ﹣1，BH=CF
∴BH= ﹣1，
①当 BH=BP 时，则 BP= ﹣1，
∵∠PBC=45°，
设 P（x，x），
∴2x2=（ ﹣1）2，
解得 x=1﹣ 或﹣1+ ，
∴P（1﹣ ，1﹣ ）或（﹣1+ ，﹣1+ ）；
②当 BH=HP 时，则 HP=PB= ﹣1，
∵∠ABD=45°，
∴△PBH 是等腰直角三角形，
∴P（ ﹣1， ﹣1）；
③当 PH=PB 时，∵∠ABD=45°，
∴△PBH 是等腰直角三角形，
∴P（ ， ），
综上，在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形，所有符
合条件的 P 点坐标为（1﹣ ，1﹣ ）、（﹣1+ ，﹣1+ ）、（ ﹣1， ﹣1）、
（ ， ）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三
角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
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