资料简介
第一章 特殊平行四边形
一、选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于 E，F，那么阴影部分的
面积是矩形 ABCD 面积的( )
A.1
5 B.1
4 C.1
3 D. 3
10
第 2 题图 第 3 题图
3．如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC 等于( )
A．40° B．50° C．80° D．100°
4．正方形 ABCD 的面积为 36，则对角线 AC 的长为( )
A．6 B．6 2 C．9 D．9 2
5．下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．四边形 ABCD 的对角线 AC＝BD，AC⊥BD，分别过 A，B，C，D 作对角线的平行线，所
成的四边形 EFMN 是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．任意四边形
7．如图，菱形 ABCD 中，∠A＝60°，周长是 16，则菱形的面积是( )
A．16 B．16 2 C．16 3 D．8 3
第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
8．在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
9．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC＝4，则四边
形 CODE 的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥AB.下列
四种说法：①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形；
③如果 AD 平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形；④如果 AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边
形 AEDF 是菱形．其中，正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．
12．如图，延长正方形 ABCD 的边 BC 至 E，使 CE＝AC，则∠AFC＝________．
第 12 题图 第 14 题图
13．已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件____________使
其成为一个菱形(只添加一个即可)．
14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α
也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α 为________度时，两条对角线长度相
等．
15．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝45°，则点 D 的坐标为____________．
第 15 题图 第 16 题图
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD，CB
为边作平行四边形 CDEB，当 AD＝________时，平行四边形 CDEB 为菱形．
17．如图，已知双曲线 y＝k
x(x＞0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边
形 OEBF 的面积为 6，则 k＝________．
第 17 题图 第 18 题图
18．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG
交 CD 于点 F.若 AB＝6，BC＝10，则 FD 的长为________．
三、解答题
19．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为 M，AN⊥DC，垂足为 N，若∠BAD
＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形 ABCD 是菱形．
20.如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线．
(1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD，BC 于点 E，F(保留作图痕迹，不写
作法和证明)；
(2)连接 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由．
21．如图，点 E 是正方形 ABCD 外一点，点 F 是线段 AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，
其中∠EBF＝90°，连接 CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．
22．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
CE⊥AN，垂足为点 E.
(1)求证：四边形 ADCE 为矩形；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．
23．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝4，点 E 为 BC 的中点，AE⊥BC，AF⊥CD 于点 F，
CG∥AE，CG 交 AF 于点 H，交 AD 于点 G.
(1)求菱形 ABCD 的面积；
(2)求∠CHA 的度数．
24．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，点 E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线
交 CE 的延长线于点 F，且 AF＝BD，连接 BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜
边的一半)
(1)试判断线段 BD 与 CD 的大小关系；
(2)如果 AB＝AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论；
(3)若△ABC 为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形 AFBD 的形状，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C
10．D 解析：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边形，故①正确；若∠BAC＝
90°，则平行四边形 AEDF 为矩形，故②正确；若 AD 平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形 AEDF
为菱形，故③正确；若 AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 平分∠BAC，同理可得平行四边形 AEDF 为
菱形，故④正确，则其中正确的个数有 4 个．故选 D.
二、填空题
11．菱形 12.112.5° 13.AC⊥BD(答案不唯一)
14．90 15.(2＋ 2， 2) 16.7
5
17．6 解析：设 F(a，k
a )，则 B(a，2k
a )，因为 S 矩形 ABCO＝S△OCE＋S△AOF＋S 四边形 OEBF，
所以 1
2k＋1
2k＋6＝a·2k
a ，解得 k＝6.
18.25
6 解析：连接 EF，∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE.
∵△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，BG＝AB＝6，∴ED＝EG.
∵在矩形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°.
在 Rt△EDF 和 Rt△EGF 中，{ED＝EG，
EF＝EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF＝FG.设 DF＝x，则 BF＝BG＋GF＝6＋x，CF＝CD－DF＝6
－x.
在 Rt△BCF 中，BC2＋CF2＝BF2，即 102＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得 x＝25
6 .即 DF＝25
6 .
三、解答题
19．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.
在△ABM 与△ADN 中，
{∠AMB＝∠AND，
∠B＝∠D，
AM＝AN，
∴△ABM≌△ADN，
∴AB＝AD，∴四边形 ABCD 是菱形．
20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线．
(2)四边形 BEDF 为菱形．理由如下：
∵EF 垂直平分 BD，∴BF＝DF，BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.
∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.
∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形 BEDF 为菱形．
21.(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠EBC＋∠FBC＝90°.
又∵∠ABF＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE.
在△ABF 和△CBE 中，有{AB＝CB，
∠ABF＝∠CBE，
BF＝BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：
∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.
又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF
是直角三角形．
22．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∵AE 平分∠CAM，
∴∠CAE＝∠EAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝1
2(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形 ADCE 为矩形．
(2)解：当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边形 ADCE 为正方形．证明如下
∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD.
又∵四边形 ADCE 为矩形，∴四边形 ADCE 为正方形．
23．解：(1)连接 AC，BD，并且 AC 和 BD 相交于点 O.
∵AE⊥BC 且 E 为 BC 的中点，∴AC＝AB.∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC＝AD＝DC，
AC⊥BD∴△ABC 和△ADC 都是正三角形，∴AB＝AC＝4.
∴AO＝1
2AC＝2，∴BO＝ AB2－AO2＝2 3，
∴BD＝4 3，∴菱形 ABCD 的面积是 1
2AC·BD＝8 3.
(2)∵△ADC 是正三角形，AF⊥CD，∴∠DAF＝30°.∵CG∥AE，BC∥AD，AE⊥BC，
∴四边形 AECG 为矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°.
24．解：(1)BD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠CDE.∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE.
在△AEF 和△DEC 中， {∠FAE＝∠CDE，
AE＝DE，
∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF＝CD.
∵AF＝BD，∴BD＝CD.
(2)四边形 AFBD 是矩形．证明如下：
∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形 AFBD 是平行四边形．
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形 AFBD 是矩形．
(3)四边形 AFBD 为菱形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.
同(2)可得四边形 AFBD 是平行四边形，
∴四边形 AFBD 是菱形．
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