天天资源网 / 初中数学 / 二轮复习 / 中考必会几何模型：中点四大模型
资料简介
1
中点四大模型
模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
模型分析
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E 使 DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件
中的线段进行转移．
模型实例
如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AF
＝EF，求证：AC＝BE
1．如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝20，求 BC 边上中线 AD 的范围．
解：延长 AD 到 E，使 AD＝DE，连接 BE，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC 与△EDB 中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝20，
根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，
∴4＜AD＜16，故 AD 的取值范围为 4＜AD＜16．
②图
①图
构造全等
倍长类中线
倍长中线
E
E
D CB
A
FF
A
B CD
A
B CDD CB
A
=
∠=∠
=
DEAD
BDEADC
CDBD
F
E
D CB
A
D CB
A2
2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2
＋CN2＝DM2＋DN2．
求证：AD2＝ (AB2＋AC2)．
证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E，
连 ME．
∵BD＝DC，
∴ED＝DN．
在△BED 与△CND 中，
∵
∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE＝NC．
∵∠MDN＝90°，
∴MD 为 EN 的中垂线．
∴EM＝MN．
∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，
∴△BEM 为直角三角形，∠MBE＝90°．
∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．
∴∠BAC＝90°．
∴AD2＝( BC) 2＝ （AB2＋AC2）．
模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，
为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．
模型实例
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，求 MN 的长度．
连接中线
A
B CDD CB
A
N
M CB
A
A
B CM
N
4
1
=
∠=∠
=
DNED
CDNBDE
DCBD
2
1
4
1
N
M
D CB
A3
解答：
连接 AM．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 中点，
∴AM⊥BC，BM＝CM＝ BC＝3．
∵AB＝5，
∴AM＝ ．
∵MN⊥AC，
∴S△ANC＝ MC·AM＝ AC·MN．
即： ×3×4＝ ×5×MN．
∴MN＝
跟踪练习
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且 AE＝AF，求证：∠EDB＝∠
FDC．
证明：连结 AD，
∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°
在 Rt△AED 与 Rt△AFD 中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）
∴∠ADE＝∠ADF，
∵∠ADB＋∠ADC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC．
FE
D CB
A
2
1
435 2222 =−=− BMAB
2
1
2
1
2
1
2
1
5
12
=
=
ADAD
AFAB4
2．已知 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为 AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕 D 点旋转，
它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F．
（1）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DF⊥AC 于 E 时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝ S△ABC；
（2）当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF、S△CEF、S△ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不
需要证明．
解：（1）连接 CD；如图 2 所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 AB 中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝ ∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝ AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CDE 和△BDF 中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝ S△ABC；
（2）不成立；S△DEF −S △CEF ＝ S△ABC ；理由如下：连接 CD，如图 3 所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S 五边形 DBFEC，
＝S△CFE＋S△DBC，
＝S△CFE＋ S△ABC，
∴S△DEF－S△CFE＝ S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC 的关系是：S△DEF－S△CEF＝ S△ABC．
③图②图①图
A
B
C
D
E
F
A
BC
D
E
FF
E D
C B
A
2
1
2
1
2
1
∠=∠
=
∠=∠
BDCB
BDCD
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
A
BC
D
E
F5
模型 3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE∥BC，且 DE＝ BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以
解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．
模型实例
如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与
BA、CD 的延长线交于点 M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
解答
如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE、HF．
∵E、F 分别是 BC、AD 的中点，
∴FH＝ AB，FH∥AB，HE＝ DC，HE∥NC．
又∵AB＝CD，
∴HE＝HF．
∴∠HFE＝∠HEF．
∵FH∥MB，HE∥NC，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH．
∴∠BME＝∠CNE．
构造中位线
取另一边中点
E
A
B C
DD
CB
A
N
M
F
E
D
C
B
A
2
1
2
1
2
16
练习：
1.（1）如图 1，BD，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作 AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为 D，
E，连接 DE，求证：DE∥BC，DE= （AB+BC+AC）；
（2）如图 2，BD，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？
（3）如图 3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与 BC 还
平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.
1.解答
（1）如图①，分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K.
在△BAD 和△BKD 中，
∴△BAD≌ △BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE= HK.
又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.
∴DE= （AB+AC+BC）.
（2）猜想结果：图②结论为 DE= （AB+AC-BC）
证明：分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K.
在△BAD 和△BKD 中
∴△BAD≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE= HK.
又∵HK=BK+CH-BC
=AB+AC-BC
∴DE= （AB+AC-BC）
ED
CB
A
图1
G F
E D
CB
A
图2
F E
D
CB
A
图3
1
2
ABD DBK
BD BD
BDA BDK
∠ = ∠
=
∠ = ∠
1
2
1
2
1
2
ABD DBK
BD BD
BDA BDK
∠ = ∠
=
∠ = ∠
1
2
1
27
（3）图③的结论为 DE= （BC+AC-AB）
证明：分别延长 AE，AD 交 BC 或延长线于 H，K.
在△BAD 和△BKD 中，
∴△BAD ≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE= KH.
又∵HK=BH-BK
=BC+CH-BK
=BC+AC-AB
∴DE= （BC+AC-AB）.
2.问题一：如图①，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中
点，连接 EF，分别交 DC，AB 于点 M，N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连
接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接 GD，判断△AGD 的形状并证明.
2.证明
（1）等腰三角形（提示：取 AC 中点 H，连接 FH，EH，如图①）
（2）△AGD 是直角三角形
如图②，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE.
∵F 是 AD 的中点，
∴HF∥AB，HF= AB.
G
A
B C
DE
KH
F
图2
图1
N
M OF
E
D
C
B
A
E图2
G
A
B C
D
F
1
2
ABD DBK
BD BD
BDA BDK
∠ = ∠
=
∠ = ∠
1
2
1
2
1
2
A
B C
D
E
K H
F
图38
∴∠1=∠3.
同理，HE∥CD，HE= CD，
∴∠2=∠EFC，
∴AB=CD，
∴HF=HE.
∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF 是等边三角形.
∴AF=FG.
∴GF=FD.
∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°，即△AGD 是直角三角形.
模型 4 已知直角三角形斜边中点，可以考
虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半，即 CD= AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD
，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
模型实例
如图，在△ABC 中，BE，CF 分别为 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM⊥ EF 于点 M，求证：
FM=EM.
证明
连接 DE，DF.
BE，CF 分别为边 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，
DF= BC，DE= BC.
DF=DE，即△DEF 是等腰三角形.
DM⊥EF，
点 M 是 EF 的中点，即 FM=EM.
构造直角三角形斜边上的中线 D
C B
A
D
C B
A
1
2
1
2
1
2
1
2
图2
3
2
1
G
A
B C
D
F
E
H
M
F
E
D CB
A
A
B CD
E
F
M9
练习：
1.如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于 D，M 为 BC 的中点，AB=10，求 DM 的长度.
1.解答
取 AB 中点 N，连接 DN，MN.
在 Rt△ADB 中，N 是斜边 AB 上的中点，
∴DN= AB=BN=5.
∴∠NDB=∠B.
在△ABC 中，M，N 分别是 BC，AB 的中点，
∴MN∥AC
∴∠NMB=∠C，
又∵∠NDB 是△NDM 的外角，
∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.
即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.
又∵∠B=2∠C，
∴∠DNM=∠C=∠NMD.
∴DM=DN.
∴DM=5.
2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，
连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 MB，MC，求证：MB=MC.
2.证明
延长 BM 交 CE 于 G，
∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形，
∴CE∥BD.
∴∠BDM=∠GEM.
又∵M 是 DE 中点，即 DM=EM，
且∠BMD=∠GME，
∴△BMD ≌△GME.
∴BM=MG.
∴M 是 BG 的中点，
∴在 Rt△CBG 中，BM=CM.
3.问题 1：如图①，三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AE⊥ BC，BF ⊥AC，垂足分别为点 E，
F.AE、BF 交于点 M，连接 DE，DF，若 DE=kDF，则 k 的值为 .
问题 2：如图②，三角形 ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在三角形 ABC 内部，且∠MAC=
∠MBC，过点 M 分别作 ME ⊥BC，MF⊥ AC，垂足分别为点 E，F，连接 DE，DF，求证：DE=DF.
问题 3：如图③，若将上面问题 2 中的条件“CB=CA”变为“CB ≠CA”，其他 条件不变，试探究 DE
MD CB
A
1
2
M
E
D
C
B
A
N
MD CB
A10
与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论.
3.解答
∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC，
∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形，
∵D 是 AB 的中点，
∴DE= AB，DF= AB.
∴DE=DF.
∵DE=KDF，
∴k=1.
（2）∵CB=CA，
∴∠CBA=∠CAB.
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.
∴AM=BM.
∵ME⊥BC，MF⊥AC，
∴∠MEB=∠MFA=90°.
又∵∠MBE=∠MAF，
∴△MEB ≌△MFA（AAS）
∴BE=AF.
∵D 是 AB 的中点，即 BD=AD，
又∵∠DBE=∠DAF，
∴△DBE ≌△DAF（SAS）
∴DE=DF.
（3）DE=DF.
如图，作 AM 的中点 G，BM 的中点 H，连 DG，FG，DH，EH.
∵点 D 是边 AB 的中点，
∴DG∥BM，DG= BM.
同理可得：DH∥AM，DH= AM.
∵ME⊥BC 于 E，H 是 BM 的中点.
∴在 Rt△BEM 中，HE= BM=BH.
∴∠HBE=∠HEB.
∴∠MHE=2∠HBE.
图1
M
F
E
D
CB
A
图2
A
B C
D
E
F
M
图3
A
B C
D
E
F
M
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
图1
M
F
E
D
CB
A
图2
A
B C
D
E
F
M11
又∵DG= BM，HE= BM，
∴DG=HE.
同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形 DHMG 是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC， ∠MHE=2∠MBC， ∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE.
在△DHE 与△FGD 中
∴△DHE≌ △FGD（SAS）
∴DE=DF.
高中数学知识点
二次函数
（1）一元二次方程 根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但
尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）
的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，
从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端
点函数值符号．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
1
2
1
2
DG HE
DGF DHE
DH FG
=
∠ = ∠
=
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + +
a 2
bx a
= − ∆
⇔
x
y
1x 2x
0>a
O
•
a
bx 2
−=
0)( >kf
k x
y
1x 2x
O
•
a
bx 2
−=
k
0kf
x
y
1x 2x
O
•
a
bx 2
−=
k
0kf 0)( 2 >kf
a
bx 2
−=
x
y
1x 2xO
•
0 ( )M f p=
0a <
2
b pa
− < ( )M f p=
2
bp qa
≤ − ≤ ( )2
bM f a
= −
2
b qa
− > ( )M f q=
02
b xa
− ≤ ( )m f q= 02
b xa
− > ( )m f p=
x
y0>a
O
a
bx 2
−=
p
q
f
(p)
f
(q)
( )2
bf a
−
x
y0>a
O
a
bx 2
−=
p q
f
(p) f
(q)
( )2
bf a
−
x
y0>a
O
a
bx 2
−=
p
q
f
(p)
f
(q)
( )2
bf a
−
x
y0>a
O
a
bx 2
−=
p
q
f
(p)
f
(q)
( )2
bf a
−
0x
x
y0>a
O
a
bx 2
−=
p
q
f
(p)
f
(q)
( )2
bf a
−
0x
x
y0
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