资料简介
（第6题）
E
P
D
CB
A
淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练五
数 学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位
置上．
1．已知集合 ，则 ．
2．若复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 ．
3．双曲线 的离心率为 ．
4．在一次满分为 160 分的数学考试中，某班 40 名学生的考试成绩分布如下：
成绩（分） 80 分以下 [80，100） [100，120） [120，140） [140，160]
人数 8 8 12 10 2
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在 120 分以 上的概率
为 ．
5．函数 的定义域为 ．
6．如图，四棱锥 P－ABCD 中， ⊥底面 ，
底面 是矩形， ， ， ，
点 E 为棱 CD 上一点，则三棱锥 E－PAB 的体积为 ．
7．右图是一个算法流程图，则输出的 的值为 ．
8．已知等比数列 的各项均为正数，若 ，
{ } { }1 1 , 0A x x B x x= − < < = > A B =
5
1 2i m+− m =
2
2 12
yx − =
2ln( 2)y x= −
PA ABCD
ABCD 2AB = 3AD = 4PA =
x
{ }na 2
4 2a a=
结束
开始
n←1 ，x←1
x←
푥
푥 + 1
y ← 2y + 1
输出 x
N
（第 7 题）
n > 5
Y
n ← n + 1
，则 ．
9．若曲线 与曲线 在
处的两条切线互相垂直，则实数 的值为 ．
10．设函数
的最小正周期为 ，且满足 ，则函数
的单调增区间为 ．
11．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，
AE 与 BD 交于点 M， , ，且
，则 ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
，点 A 是 轴上的一个动点，AP，
AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ．
13．已知直线 与曲线 恰有四个不同的交点，则实数 k 的取值
范围为 ．
14．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量 ， ， ．
（1）若 ⊥ ，求 的值；
（2）若 ∥ ，求 的值．
2 4
5
16a a+ = 5a =
3 2
1 : 6 12C y ax x x= − + 2 : exC y = 1x =
a
π( ) sin( ) 3cos( )( 0, )2f x ωx φ ωx φ ω φ= + + + > < π ( ) ( )f x f x− = ( )f x 2AB = 1AD = 1 6MA MB⋅ = − AB AD⋅ = 2 2( 3) 2x y+ − = x 1y kx= + 1 1( )f x x xx x = + − − ,x y 0x y> > 2x y+
2 1
3x y x y
++ −
πsin( ),36α = + a (1,4cos )a=b (0,π)α ∈
a b tanα
a b α
16．如图，四边形 为矩形，四边形 为菱形，且平面 ⊥平面 ，
D，E 分别为边 ， 的中点．
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）求证：DE∥平面 ．
1 1AAC C 1 1CC B B 1 1CC B B 1 1AAC C
1 1A B 1C C
1BC 1AB C
1AB C
C1
B1
A1
（第16题）
E C
B
A
D
17．如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为 米的扇形区域 OCD，河的另
一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB（不计 B 离河岸的距离），且 OB 的连线恰好与
河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧 的交点为 E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点
C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 ， 和 ．
（1）求烟囱 AB 的高度；
（2）如果要在 CE 间修一条直路，求 CE 的长．
18．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过
点 ，过椭圆的左顶点 A 作直线 轴，点 M 为直线 上的动点，点 B 为椭圆右
10 3
CD
45° 30° 60°
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 2
2
6(1, )2 l x⊥ l
（第 17 题）
l
顶点，直线 BM 交椭圆 C 于 P．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求证： ；
（3）试问 是否为定值？若是定值，
请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
19．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调减区间；
（2）若方程 恰好有一个正根和一个负根，求实数 的最大值．
AP OM⊥
OP OM⋅
2( ) e ( 0)xf x x a a= −
1a = ( )f x
( )f x m= m
20 ． 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 设 数 列 满 足
．
（1）若数列 为等差数列，且 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，且数列 ， 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等
式 的所有正整数 n 的集合．
{ }na nS { }nb
1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗
+ += − − + ∈N
{ }na 0nb = { }na
1 1a = 2 3a = { }2 1na − { }2na
2 2 1n nb b − 2
2
2 22a c= 2 22a b= 6(1, )2 2 2
1 3 12a b
+ =
2 4a = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
( 2)y k x= − 1 1( , )P x y
( 2)y k x= −
2 2
14 2
x y+ =
2 2 2 2(2 1) 4 8 4 0k x k x k+ − + − =
2
1 2
4 2
2 1
kx k
−= + 2 2x =
∴ ，从而 ．
令 ，得 ，∴ ， ．
又 ＝ ，
∴ ，
∴ ．
（3） = ．
∴ 为定值 4．
19．解：（1）当 时，
当 时， ，
由 ，解得 ，
所以 的单调减区间为 ，
当 时， ，
由 ，解得 或 ，
所以 的单调减区间为 ，
综上： 的单调减区间为 ， ．
（2） 当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
1 1 2
4( 2) 2 1
ky k x k
−= − = +
2
2 2
4 2 4( , )2 1 2 1
k kP k k
− −
+ +
2x = − 4y k= − ( 2, 4 )M k− − ( 2, 4 )OM k= − −
2
2 2
4 2 4( 2, )2 1 2 1
k kAP k k
− −= ++ +
2
2 2
8 4( , )2 1 2 1
k k
k k
−
+ +
2 2
2 2
16 16 02 1 2 1
k kAP OM k k
−⋅ = + =+ +
AP OM⊥
2
2 2
4 2 4( , ) ( 2, 4 )2 1 2 1
k kOP OM kk k
− −⋅ = ⋅ − −+ +
2 2 2
2 2
8 4 16 8 4 42 1 2 1
k k k
k k
− + + += =+ +
OP OM⋅
1a =
2
2
1,e ( 1),( ) 1,e (1 ),
x
x
xxf x xx
>−= −
1x > 2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = + −
( ) 0f x′ 1 2 1+ 2x− − −
( )f x [ 1 2, 1]− − −
1x
2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = − + −
( ) 0f x′ 1 2x − − 1+ 2x −
( )f x [ 1+ 2,1]−
( )f x [ 1+ 2,1]− [ 1 2, 1]− − −
0a = 2( ) exf x x= ⋅ 2( ) e 2 e e ( 2)x x xf x x x x x′ = ⋅ + ⋅ = +
( ) 0f x′ = 0x = 2x = −
x 0
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 有极大值 ，极小值 ，
当 时，
同（1）的讨论可得， 在 上增，在 上减，
在 上增，在 上减，在 上增，
且函数 有两个极大值点，
，
，
且当 时， ，
所以若方程 恰好有正根，
则 （否则至少有二个正根）．
又方程 恰好有一个负根，则 ．
令 ，则 ，
所以 在 时单调减，即 ，
等号当且仅当 时取到．
( , 2)−∞ − 2− ( 2,0)− (0, )+∞
( )f x′
( )f x
( )f x 2
4( 2) ef − = (0) 0f =
0a >
2
2
,e ( ),( )
e ( ), ,
x
x
x ax af x
a x x a
>−= −
( )f x ( , 1 1)a−∞ − + − ( 1 1, )a a− + − −
( , 1 1)a a− + − ( 1 1, )a a+ − ( , )a +∞
( )y f x=
1
1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e
a
a af a a
− +
− + − + +− + − = + + =
1
1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e
a
a af a a
+
+ − + −+ − = + − =
1x a= +
1
1 2 1 2e ( 1 1)( 1) e ( 1) e ( 1 1) e
a
a a af a a a a
+
+ + + −+ = + + > + − >
( )f x m=
( 1 1)m f a> + −
( )f x m= ( 1 1)m f a= − + −
( ) e ( 1), 1xg x x x−= + ( ) e 0xg x x −′ = − < ( ) e ( 1)xg x x−= + 1x 2( ) (1) eg x g = 1x =
所以 ，等号当且仅当 时取到．
且此时 ，
即 ，
所以要使方程 恰好有一个正根和一个负根， 的最大值为 ．
20．解：（1）设等差数列 的公差为 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，及由 ，
又由 ，得
对一切 都成立,
即 对一切 都成立．
令 ， ，解之得 或 经检验，符合题意，
所以 的通项公式为 或 ．
（2）由题意得 ， ， ，
．
．
22( 1 1) ( )ef a− + − 0a =
1 1( 1 1) 2e ( 1 1) 0af a a+ −+ − = + − =
( 1 1)f a− + − > ( 1 1)f a + −
( )f x m= m 2
4
e
{ }na d
1 1na a nd+ = + 1
( 1)
2n
n nS na d
−= +
1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗
+ += − − + ∈N 1 12 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 0nb =
0nb = [ ]1 1 1 1
( 1)2( ) 2 ( 1) 02
n na nd na d n na n n d a nd
− + + − + − + + =
n ∗∈N
( )2 2 2 2
1 1 1 1 1(3 2 ) 2 0d d n a d d a n a a d a− + − − + − − = n ∗∈N
1n = 2n =
1
0,
0,
d
a
=
= 1
1,
1,
d
a
=
=
{ }na 0na = na n=
1
2 1 2n
na −
− = 1
2 3 2n
na −= × 2 2 1 3(2 1) 4 2 4n n n
nS = − + − = × −
1 1
2 1 2 2 4 2 4 3 2 5 2 4n n n
n n nS S a − −
− = − = × − − × = × −
2 2 1 2 2 2 12 2 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 2 2 (4 2 4) 2 (8 2 8 2 )n n n nn= × × × − − × − +
1 22 (2 9 4) 16n n n n+ += − − +
2 1 2 2 1 2 1 22 (2 1)(2 )n n n n nb a S n S a− − −= − − +
．
．
记 ，即 ，
记 ，
则
，
当 ，2，3 时， ，
当 时， ， ，
因为 时， ，所以 ；且 ； ．
所以 在 时也是单调递增，
时， ；
时， ；
时， ；
时， ；
时， ；
1 1 1 16 2 (5 2 4) (2 1)(10 2 8 3 2 )n n n nn− − − −= × × × − − − × − + ×
1 12 (30 2 26 11) 16 8n n n n− −= × − − + −
1 2 1 1
2 2 1 2 (2 9 4) 16 [2 (30 2 26 11) 16 8]n n n n
n nb b n n n n+ + − −
−− = − − + − × − − + −
1 2 15 52 (2 5 ) 8 2 8 2 (5 )2 2
n n n nn n− −= − − + = + − +
2 1 52 8 2) ( )2( 5n n nf n −= + − + 1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + +
1 5( ) 2 (5 )2 2
ng n n= × − +
11 15 1 5( 1) ( ) 2 (5 ) 2 52 2 2 2
n ng n g n n n++ − = × − + − × + +
1 2 52
n= × −
1n = ( 1) ( ) 0g n g n+ − < *n∈N 4n ≥ ( 1) ( )g n g n+ − 1 2 5 02 n= × − >
1n = 13(1) 02g = − < (4) 0g < 1(6) 02g = − < 53(7) 02g = >
1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + + 7( *)n n∈≥ N
1n = (1) 5 0f = − < 2n = (2) 34 0f = − < 3n = (3) 100 0f = − < 4n = (4) 224 0f = − < 5n = (5) 360 0f = −
0 0( , )x y 1x y+ =
1 0
10 3
M
=
( , )x y′ ′
0
0
1 0
10 3
x x
y y
′ = ′
0
0
,
1 ,3
x x
y y
′ = ′ =
0
0
,
3 ,
x x
y y
′=
′=
1x y+ =
1 0
10 3
M
=
3 1x y+ =
1 2 222 3 3
× × =
2 2 2 2 0x y x y+ − − =
(1,1) 2
3 3 0x y− − =
3 1 3 1
2 2d
− −
= =
12 2 74
= − =
OC OD
z
( 1,0,0)A − (1,0,0)C (0, 3,0)B − (0, 3,0)D ( 1,0, 6)P −
所 以 ， ， ，
．
所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 ．
（2）设平面 PCD 的法向量为 ，平面 PAD 的法向量为 ，
因为 ， ， ，
由 令 ，得 ，
由 令 ，得 ，
所以 ，所以 ．
23．解：（1）当 时，取数 ， ，因为 ，
当 时，取数 ， ， ，则 ，
， ，即 ， ， 可构成三个好数．
（2）证：①由（1）知当 时均存在，
②假设命题当 时，存在 个不同的正整数 ，其中 ，
使得对任意 ，都有 成立，
则当 时，构造 个数 ， ，（*）
其中 ，
6(0,0, )2M 6(0, 3, )2MD = − (1, 3, 6)PB = − −
3 3cos , 0
33 1 3 62
MD PAMD PA
MD PA
⋅ − +< >= = =
+ ⋅ + +
90°
1 1 1 1( , , )x y z=n 2 2 2 2( , , )x y z=n
( 1, 3,0)CD = − (1, 3, 6)PD = − (0,0, 6)PA = −
1 1 1
1 1 1 1
3 0,
3 6 0,
CD x y
PD x y z
⋅ = − + =
⋅ = + − =
n
n
1 1y = 1 ( 3,1, 2)=n
2 2
2 2 2 2
6 0,
3 0,
PA z
PD x y z
⋅ = − =
⋅ = + − =
n
n
2 1y = − 2 ( 3, 1,0)= −n
1 2
1 2
1 2
3 1 6cos , 66 2
⋅ −< >= = =
×
n nn n n n 1 2
30sin , 6
< >=n n
2n = 1 1a = 2 2a = 2 1 31 2
+ = − ∈− Z
3n = 1 2a = 2 3a = 3 4a = 1 2
1 2
5a a
a a
+ = − ∈− Z
2 3
2 3
7a a
a a
+ = − ∈− Z 1 3
1 3
3a a
a a
+ = − ∈− Z 1 2a = 2 3a = 3 4a =
2,3n =
( 2, )n k k k Z= ≥ ∈ k 1 2, , , ka a a 1 2 ka a a< <
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