资料简介
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重难点突破：换元法的妙用题型汇编
题型一 三角换元法
在处理许多三角问题时，我们常讲其代数化，同时，在处理某些代数问题时，通过将
其转化为三角问题，亦可简化解题过程，下面举例说明。
角度 1：三角设参在向量中应用
例题1： 线段 的长度为 2，点 分别在 非负半轴和 非负半轴上滑动，以线段
为一边，在第一象限内作矩形 （顺时针排序）， ，设 为坐标原点，则
的取值范围是 .
方法一 三角设参
设 ，由图可知 ，
，
（也可以设 OA=a，OB=b，利用 a2+b2=4）
附方法二 （极化恒等式）
取 CD 的中点为 E，
y AB
[ ]3,112sin2 ∈+=⋅ αODOC
( ) ( )ECOEEDOEODOC +⋅+=⋅
AB BA、 x
ABCD 1=BC O
ODOC⋅
C
B
xO
y
A
D
≤≤=∠
20
πααOAB ( )ααα cos,sincos2 +D
( )ααα cossin2,sin +C
C
B
xO
y
A
D
α
C
B
xO
y
A
D
E2
易知点 O 与点 E 之间的距离范围为[ ]
变式1： 如图，ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上，则
的取值范围是 ．
分析：以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，得 C（2，4），D（﹣2，
4），P（2cosα，2sinα），得到 、 坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得
=16﹣16sinα，再结合 α∈[0，π]，不难得到 的取值范围．
【解析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系
则圆弧 APB 方程为 x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（﹣2，4）
因此设 P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]
∴ =（2﹣2cosα，4﹣2sinα）， =（﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα），
由此可得 =（2﹣2cosα）（﹣2﹣2cosα）+（4﹣2sinα）（4﹣2sinα）
=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα
化简得 =16﹣16sinα
( ) ( )
1
2
22
−=
−=
−⋅+=
OE
EDOE
EDOEEDOE
[ ]311
2
，∈−⇒ OE22，
PC PD
PC PD
PC PD3
∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]
∴当 α=0 或 π 时， 取最大值为 16；当 α= 时， 取最小值为 0．
由此可得 的取值范围是[0，16]
角度 2：三角换元在解析几何中应用
例题2： 已知圆 ， 为圆上任一点．求 的最大、最小值，
求 的最大、最小值．
法一：三角换元法，设圆的参数方程： 是参数
则 ．令 ，得 ，
．
所以 ， ．即 的最大值为 ，最小值为 ．
此时 ．
1)2( 22
2 =++ yxO ： ),( yxP 1
2
−
−
x
y
yx 2−
=
+−=
,sin
,cos2
θ
θ
y
x θ
3cos
2sin
1
2
−
−=−
−
θ
θ
x
y t=−
−
3cos
2sin
θ
θ
tt 32cossin −=− θθ tt 32)sin(1 2 −=−+ φθ
1)sin(
1
32
2
≤−=
+
−⇒ φθ
t
t
4
33
4
33 +≤≤−⇒ t
4
33
max
+=t 4
33
min
−=t 1
2
−
−
x
y
4
33+
4
33−
)cos(52sin2cos22 φθθθ ++−=−+−=− yx
PC PD
2
π
PC PD
PC PD4
所以 的最大值为 ，最小值为 ．
(附法二：几何法)设 ，则 ．由于 是圆上点，当直线与圆
有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．由 ，得 ．
所以 的最大值为 ，最小值为 ．
令 ，同理两条切线在 轴上的截距分别是最大、最小值．
由 ， 得 ． 所 以 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为
．
变式2： 已知圆 ， 为圆 上的动点，求 的最
大、最小值．
【解析】（法一：三角法）设圆的参数方程为 （ 是参数）
则
（其中 ）．
所以 ， ．
yx 2− 52 +− 52 −−
kx
y =−
−
1
2 02 =+−− kykx ),( yxP
1
1
22
2
=
+
+−−=
k
kkd
4
33±=k
1
2
−
−
x
y
4
33+
4
33−
tyx =− 2 x
1
5
2 =−−= md 52 ±−=m yx 2− 52 +−
52 −−
1)4()3( 22
1 =−+− yxO： ),( yxP O 22 yxd +=
+=
+=
,sin4
,cos3
θ
θ
y
x θ
θθθθ 2222 sinsin816coscos69 +++++=+= yxd
)cos(1026sin8cos626 φθθθ −+=++=
3
4tan =φ
361026max =+=d 161026min =−=d5
(附法二：几何法)圆上点到原点距离的最大值 等于圆心到原点的距离 加上半径 1，圆
上点到原点距离的最小值 等于圆心到原点的距离 减去半径 1．
所以 ． ．所以 ． ．
变式3： 已知圆的方程为 ，圆内有定点 ，圆周上有两个动点 、 ，
1d '
1d
2d '
1d
6143 22
1 =++=d 4143 22
2 =−+=d 36max =d 16min =d
222 ryx =+ ),( baP A B6
使 ，求矩形 的顶点 的轨迹方程．
法一（三角法）：设 、 、 ，
由于 为矩形，故 与 的中点重合，即有
，① ，②
又由 有 ③
联立①、②、③消去 、 ，即可得 点的轨迹方程为 ．
法二：如图，在矩形 中，连结 ， 交于 ，显然 ， ，
在直角三角形 中，若设 ，则 ．
由 ，即 ，
也即 ，这便是 的轨迹方程．
法三：设 、 、 ，则 ， ．
又 ，即 ．①
又 与 的中点重合，故 ， ，即
PBPA ⊥ APBQ Q
)sin,cos( αα rrA )sin,cos( ββ rrB ),( yxQ
APBQ AB PQ
βα coscos rrax +=+ βα sinsin rrby +=+
PBPA ⊥ 1cos
sin
cos
sin −=−
−⋅−
−
ar
br
ar
br
β
β
α
α
α β Q )(2 22222 baryx +−=+
APBQ AB PQ M ABOM ⊥ PQAB =
AOM ),( yxQ )2,2( byaxM
++
222 OAAMOM =+ 22222 ])()[(4
1)2()2( rbyaxbyax =−+−++++
)(2 22222 baryx +−=+ Q
),( yxQ ),( 11 yxA ),( 22 yxB 22
1
2
1 ryx =+ 22
2
2
2 ryx =+
22 ABPQ = )(22)()()()( 2121
22
21
2
21
22 yyxxryyxxbyax +−=−+−=−+−
AB PQ 21 xxax +=+ 21 yyby +=+7
②
①＋②，有 ．这就是所求的轨迹方程．
例题3： 已知点 在椭圆 上，则 到直线 的最短距离是
法一（三角设参）：设 ，
所以 ，
所以最小值是
法 二 ： 设 直 线 ， 与 椭 圆 相 切 ， 联 立 消 元 ， 得
，
再 ，所以两平行线最小距离是
小结：解法一，若本题仍旧使用点到直线距离公式，会发现无法化到二次函数形式，因此使
用参数式。解法二，切线法。
例题4： 若 ，则 的最小值为
【解析】依题意 ，（ ）故点 在双曲线 的右支上
由于双曲线关于 x 轴对称，所以研究 即可
当 时，另
)(22)()( 2121
222 yyxxrbyax ++=+++
)(2 22222 baryx +−=+
P
2 2
125 16
+ =x y P : 7 0− + =l x y
(5cos ,4sin )θ θP
2 2
5cos 4sin 7 2 41sin( ) 721 ( 1)
θ θ θ ϕ− += = ⋅ + +
+ −d
2 (7 41)2
⋅ −
' : 0− + =l x y c 'l
2 241 50 25 400 0+ + − =x cx c
0 41∆ = ⇒ = ±c 2 2
7 41 2 (7 41)21 ( 1)
−
= = ⋅ −
+ −d
4 4( ) ( ) =1log x+ y log x - 2y+ x y−
2 24 4x y− = 0x＞ ( )M x,y
2
2 14
x y− =
0y ≥
0y＞ 2 0 2x ,y tan , ,cos
πθ θθ
= = ∈ 8
，根据斜率几何意义，易知
变式4： 写出椭圆 的参数方程，求椭圆内接矩形的最大面积
【解析】易知 ．设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边
分别平行于 轴和 轴，设 为矩形在第一象限的顶点， ，
则 ，故椭圆内接矩形的最大面积为 12．
变式5： 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使
( 为坐标原点)，求其焦距与长轴之比的取值范围．
【解析】∵ 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为
点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 的一个不等式，转化为关于 e 的
不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
设椭圆的参数方程是 ，
则椭圆上的点 ， ，
2 2
0
sin sinx y cos cos
θ θ
θ θ
− −− = = − = 3minx y−（ ）
149
22
=+ yx
=
=
θ
θ
sin2
cos3
y
x )( R∈θ S
x y )sin2,cos3( θθ )20(
π> ba x A P
APOP ⊥ O
O A P P APOP ⊥ P
a,b,c
=
=
θ
θ
sin
cos
by
ax )0( >> ba
)sin,cos( θθ baP )0,(aA9
∵ ，∴ ，
即 ，解得 或 ，
∵ ∴ （舍去）， ，又
∴ ，∴ ，又 ，∴ ．
角度 3：三角换元在无理函数中应用
①形如
例题5： 求 的值域
解析：易知 ，令
则
其中
∵ ，∴ ，
APOP ⊥ 1cos
sin
cos
sin −=−⋅
aa
b
a
b
θ
θ
θ
θ
0coscos)( 22222 =+−− baba θθ 1cos =θ
22
2
cos ba
b
−=θ
1cos1
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